Примеры решения задач

1. Прямая линия l проходит через точку М ₀(-2, 5) и перпендикулярна вектору с координатами (8, -3). Записать уравнение этой линии в общем виде, в нормальном виде, в виде уравнения с угловым коэффициентом, в виде уравнения прямой линии в отрезках на осях.

Решение.

Уравнение прямой линии, перпендикулярной заданному вектору и проходящей через заданную точку: l: 8∙(x +2) -3∙(y -5)=0.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим уравнение в общем виде: l: 8 x -3 y +31=0.

Вычислим длину направляющего вектора, перпендикулярного данной прямой линии: . Разделив уравнение прямой линии в общем виде на , получим нормальное уравнение прямой: l: . В данном уравнении величина равна расстоянию от прямой до начала координат.

Разрешив уравнение прямой в общем виде относительно y, получим уравнение с угловым коэффициентом: l: .

Рассмотрим уравнение в общем виде: l: 8 x -3 y +31=0.

Вычислим координаты точек пересечения прямой линии с осями координат: если y =0, то , если x =0,то . Таким образом, в уравнении прямой линии в отрезках на осях параметры a и b равны: a =-31/8, b =31/3. Уравнение имеет вид: .

2. Даны вершины треугольника ABC: B (-6; 6), C (6; 2). Угловые коэффициенты прямых, проходящих через стороны AB и AC равны соответственно: k_AB =5/8, k_AC =5/4. Найти: а) уравнения сторон AB, BC, AC; б) координаты вершины A; в) расстояние от точки пересечения медиан до вершины C; г) уравнение медианы СС ₁.

Решение.

а) Уравнения сторон AB и AC найдём, воспользовавшись уравнением прямой линии с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку l: y-y ₀= k (x - x ₀).

l_AB: ; l_AC: .

Уравнение стороны BC найдём, воспользовавшись уравнением прямой линии, проходящей через две заданные точки l: .

l_BС: ; l_BС: .

б) Вершина A является точкой пересечения прямых l_AB и l_AC.

Для отыскания координат вершины A решим систему уравнений: . Решим систему с помощью MathCad.

Координаты точки A (24.4; 25).

в) Найдём координаты точки C ₁, расположенной в середине отрезка AC:

Вычислим длину медианы CC ₁:

.

Так как точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1, то длина отрезка MC, т.е. расстояние от точки пересечения медиан до вершины C равна

Вычисления в MathCad подтверждают правильность расчётов.

г) Уравнение медианы СС ₁ найдём, воспользовавшись видом уравнения прямой линии, проходящей через две заданные точки:

l: . Так как координаты точек С (6; 2) и С ₁(15.2; 13.5), то

l_{СС 1}: ; l_{СС 1}: .