Геометрическая интерпретация потока
Поле всякого вектора
можно задать с помощью линий, аналогичных силовым линиям
. Представление поля с помощью линий вектора является весьма неточным, но очень полезно для наглядного представления о поле. В рамках этого представления потоку вектора можно придать очень наглядную геометрическую интерпретацию. При этом будем предполагать, что количество линий вектора достаточно для представления модуля вектора с заданной точностью.
Для плоского элемента поверхности
, нормаль к которому образует угол
c вектором
, число пересечений
линий вектора
с
равно произведению густоты линий (т.е. модуля вектора) на площадь
площадки, расположенной перпендикулярно силовым линиям в данной точке пространства. Очевидно, что количество линий, пересекающих
и
одинаково, а площади связаны соотношением:
. (13.09)
Поэтому
(13.10)
Поток вектора выражается таким же соотношением. Поэтому можно утверждать, что поток вектора через некоторую поверхность численно равен количеству пересечений линий вектора с этой поверхностью:
(13.11)
Необходимо, однако, учесть, что поток – величина алгебраическая. Если на рисунке 13.2 направление линий вектора изменить на противоположное, то поток станет отрицательным. Для совпадения знаков
и
пересечения с острым углом
считают положительными, а с тупым
– отрицательными.
Большое значение имеет рассмотрение потока вектора через замкнутую поверхность. Для замкнутых поверхностей положительной считается внешняя нормаль
и с «+» берутся пересечения, связанные с выходом наружу линий вектора. Пересечения при входе внутрь берутся с « – ».
Обратим внимание на то, что если линии вектора непрерывны внутри поверхности, то каждая линия пересекает поверхность четное число раз: половину с «+», половину с « – » и, соответственно поток через поверхность оказывается равным нулю.
Если же линии обрываются или начинаются внутри S, то поток через S
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza7/1220851609858.files/image3017.gif)
Забегая вперед, представим, что мы рассматриваем линии вектора напряженности электрического поля. Очевидно, что линии будут начинаться внутри поверхности в том случае, если поверхность ограничивает положительный заряд. А если отрицательный – то линии будут заканчиваться внутри поверхности. Если внутри поверхности есть заряды обоих знаков, то количество пересечений, а значит и поток вектора напряженности электрического поля через поверхность будут связаны с величиной и знаком преобладающего заряда внутри неё.
Дивергенция вектора
Вернемся к рассмотрению течения жидкости и поля вектора скорости
частиц жидкости. Представим в окрестности некоторой точки
воображаемую з амкнутую поверхность
, ограничивающую объем
. Если внутри
в объеме
жидкость не исчезает и не появляется, то линии вектора
(они же линии тока жидкости) непрерывны, и
.
Если
, то это означает, что внутри
есть источники, мощность которых равна
(стоки рассматриваем как источники с отрицательной мощностью). Под мощностью источника подразумевается объем жидкости, выбрасываемый им в единицу времени. Отношение
есть средняя удельная мощность источников в
.
Поток вектора
через поверхность
и средняя удельная мощность источников в объеме
интегрально, по объему
, характеризует характер изменения поля и поведение вектора скорости частиц. Однако очень часто возникает необходимость более детального описания поведения поля вектора скорости, например интенсивности возникновения новых линий вектора в зависимости от координат. С этой целью естественно уменьшить мысленно объем
. По определению предел отношения потока вектора
через замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем в окрестности заданной точки поля, к величине объема
, при его стремлении к нулю, называют дивергенцией соответствующего вектора:
(13.12)
(можно говорить о пределе удельной мощности источников вектора).
Соответственно, по определению, для произвольного вектора
дивергенцией называется величина
(13.13)
Геометрическая интерпретация потока вектора, как количества пересечений линий вектора с поверхностью, позволяет истолковать дивергенцию вектора
, как функцию, равную плотности точек, в которых начинаются линии
. В точках, где линии вектора заканчиваются дивергенция вектора отрицательна.
По смыслу
характеризует распределение в пространстве источников силовых линий и определяет плотность мощности источников вектора. Произведение
дает мощность источников в объеме
.
Такое определение дивергенции не зависит от выбора системы координат, однако, неудобно для вычислений.
13.4 Выражение для
в декартовой системе координат
Возьмем в окрестности точки
бесконечно малый объем
в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат величиной
соответственно. Очевидно, что
.
Найдем поток через поверхность, ограничивающую
. Для смотрящей на нас грани параллелепипеда единичная внешняя нормаль
совпадает с направлением оси
. Поэтому проекция вектора на направление нормали к этой грани
, (13.14)
где
проекция вектора
на ось
.
Для противоположной грани:
, (13.15)
Поскольку орт нормали
направлен навстречу оси
. Тогда суммарный поток вектора
через грани, перпендикулярные оси
:
. (13.16)
Изменение проекции
на ось
можно найти в виде:
. (13.17)
Поэтому поток через две грани
. (13.18)
Рассуждая аналогичным образом, для граней перпендикулярных двум другим осям системы координат, можно найти значения потоков:
и
. (13.19)
Тогда поток через всю поверхность параллелепипеда
. (13.20)
Поэтому дивергенцию вектора в декартовой системе координат можно найти, воспользовавшись соотношением:
. (13.21)
Воспользуйтесь поиском по сайту: