Соотношения векторного анализа
При использовании оператора Ñ необходимо помнить, что он является векторным и дифференциальным одновременно и действует на функции, записанные непосредственно после него. Градиент произведения скалярных функций
Аналогично дивергенция произведения скалярной функции
Поскольку градиент является векторной функцией, то от него можно взять дивергенцию. При этом необходимо учесть векторный характер оператора Гамильтона:
Считая Ñ вектором, преобразуем правую часть (13.46):
Поскольку квадрат оператора Гамильтона часто встречается в выражениях
его обозначают одним символом Поэтому для дивергенции градиента скалярной функции можем записать:
Дивергенция ротора
Соотношение (13.50) означает, что поле ротора не имеет источников. Поэтому можно утверждать, что если некоторое векторное поле можно представить в виде ротора векторной функции, то это поле не имеет источников. Именно поэтому поток Применим операцию ротор к градиенту скалярной функции:
В векторном произведении в правой части (13.50) два одинаково направленных вектора. Поэтому оно равно нулю, а значит
Формула (13.52)означает, что, если некоторое векторное поле можно представить в виде градиента скалярной функции, то ротор, а значит и циркуляция такого векторного поля равна нулю. Результат применения операции ротор к ротору с точки зрения векторного анализа представляет собой двойное векторное произведение, которое раскрывается по правилу «bac-cab»
Поэтому
Циркуляция и дивергенция электростатического поля Циркуляция и ротор электростатического поля Силы электростатического поля являются консервативными. Поэтому их работа на любом замкнутом пути равна нулю:
Следовательно, циркуляция вектора
Согласно теореме Стокса,
Поскольку (14.57) выполняется для любой поверхности, то должно быть равно нулю подынтегральное выражение:
Формулы(14.56) и(14.58)означают: невозможно существование электростатического поля такой конфигурации, где Равенство нулю
Теорема Гаусса Вспомним о том, что поток любого вектора через замкнутую поверхность численно равен количеству линий, выходящих из поверхности наружу. Мы доказывали, что количество линий выходящих из положительного заряда одинаково на любом расстоянии от него и равно
Если внутри некоторой замкнутой поверхности S находится N зарядов
Таким образом, можно утверждать, что поток вектора напряженности электростатического поля, через замкнутую поверхность
т.е. равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности деленной на Учитывая малость элементарного заряда обычно при рассмотрении макроскопических задач распределение заряда в пространстве, описывают плотностью заряда:
Соответственно соотношение (14.60)записывают в виде
Необходимо учесть, что по теореме Остроградского - Гаусса
Это равенство должно выполняться для любого объема V, а значит
Соотношение (13.66) называется теоремой Гаусса в дифференциальной форме.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|