 |
Глава 1. Испытание математикой
|
|
|
|
Загадка очевидности
Когда-то давным-давно, когда я еще учился в школе, я никак не мог понять: почему большинство моих одноклассников относятся к математике как к занятию безумно скучному и нудному, тогда как для меня математика всегда являлась чем-то чрезвычайно увлекательным и интересным? Я отчетливо помню, какое - ни с чем не сравнимое! - интеллектуальное наслаждение получал я, осуществляя очередное алгебраическое преобразование, решая систему уравнений или доказывая теорему. Я отчетливо помню, что это было именно наслаждение - острое и азартное эмоциональное переживание " вкуса" математического рассуждения, острое и азартное переживание тонкого, а порою весьма пикантного изящества математического построения. Одноклассники, которым я что-то пытался объяснить и показать, недовольно бубнили: " не понимаю я этой математики! " А я недоумевал: ну чего тут понимать? Ведь все же ОЧЕВИДНО. А одноклассники тупо слушали мои пояснения и НЕ ВИДЕЛИ НИЧЕГО.
Прошли годы. Я стал профессиональным философом и психологом. И понял, что как раз в этой так называемой " очевидности" и находится корень проблемы. Что " очевидность" как основа понимания - это и есть самое трудное в человеческой культуре. Что " очевидность" есть одновременно самое сложное, что только может быть. Что " очевидное" для одного вовсе не обязательно является " очевидным" для другого. И более того - как раз то, что является " очевидным" в системе одних координат, оказывается абсолютно закрытым для тех, кто пытается пробиться к этой очевидности из иной системы координат. И есть нечто такое, что можно было бы назвать " структурами очевидности". В частности - " структурами математической очевидности".
|
|
|
Любому учителю математики хорошо известно: есть дети, которые все схватывают на лету, все понимают с полуслова. И есть такие, которым " долбишь-долбишь, а они все равно ничего не понимают".
А может в том и состоит суть дела, что не надо " долбить", а надо попытаться сделать что-то принципиально другое? Например, попытаться понять, каким образом устроено сознание того ребенка, которому не приходится много объяснять, но который все понимает сам. И попробовать сделать такую школьную математику, которая помогла бы " устроить" таким же образом сознание любого без исключения ребенка. То есть как раз и сформировать у ребенка те самые “структуры математической очевидности”.
Увы, наше сознание (а тем более сознание учителя, привыкшее действовать по готовым методическим схемам и и двигаться по твердым программным траекториям) невероятно лениво. Нам гораздо легче приклеить к ребенку ярлык " математически неспособный", чем задуматься над вопросом о ПРИРОДЕ математических способностей. Как же это все-таки возможно, что некоторым детям удается понимать математику без особого труда? Что за особенное устройство у их мозгов?
Сознание современного просвещенного обывателя толкует вопрос о " природе" тех или иных способностей достаточно однозначно: это то, что каким-то таинственным образом дано ребенку от рождения, а, следовательно, это то, что следует принимать как данность. Мол, все, что мы можем - это " развить" имеющиеся способности, не более того. А если у ребенка " нет математических способностей", это значит, что бесполезно биться над его ПОНИМАНИЕМ; не понимает - так пусть тупо ЗАПОМИНАЕТ и хоть так осваивает какие-то математические азы.
А в результате миллионы " математически неспособных" детей во всем мире оказываются обречены на тупое заучивание ненавистной им математики. Они не понимают математику, не чувствуют ее красоты и не испытывают наслаждения от движения в мире математических формул и абстракций. Математика для них - это вечная головная боль и нудное заучивание непонятных правил.
|
|
|
Можно ли " запомнить" математику?
Но они не догадываются, что их попросту обманули. Они не догадываются, что " заученная" математика - это абсурд по определению, потому что сама суть математики - это логическое понимание и красота мыслительного движения, а не “знание”. Следовательно, " выучить" математику В ПРИНЦИПЕ не возможно. Если ученик запомнил некоторое математическое правило и научился в соответствии с этим правилом правильно совершать какие-то арифметические или алгебраические действия, это вовсе не значит, что у него появились в результате хотя бы зачатки математического мышления. А это и значит, что работа по запоминанию данного правила оказалась напрасной, бессмысленной. Она ни на йоту не приблизила ребенка к математике и ни в малой степени не способствовала о-своению культуры математического мышления, не способствовала превращению математики в нечто СВОЕ, личное, прозрачное на уровне внутреннего интеллектуального зрения. А из сказанного следует, что множество методических приемов, находящихся сегодня на вооружении учителей школьной математики и помогающих школьникам усваивать (= запоминать) некие математические " знания", - это приемы математически бессмысленные.
Суть математики проявляется прежде всего в определенном КАЧЕСТВЕ МЫШЛЕНИЯ, стиле мышления, а вовсе не в " сумме знаний". И потому путь в пространство математики принципиально не может лежать через усвоение каких-то математических знаний. Если у человека поставлено математическое мышление - у него не будет проблем с математическими знаниями, математические знания будут легко и эффективно нанизываться на стержень математического понимания и математической интуиции. Но если у человека не поставлено математическое мышление - никакие знания это мышление не породят. Мышление - условие появления в голове человека знаний, но знания сами по себе не предполагают рождение в этой голове хотя бы начатков мышления. Сам по себе процесс овладения знаниями пуст в мыслительном отношении; тайна рождения мышления, тайна формирования мышления - это совершенно особая тайна, и ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ МЫШЛЕНИЯ РЕШАЕТСЯ ВОВСЕ НЕ ЧЕРЕЗ НАКОПЛЕНИЕ ЗНАНИЙ, А ПОСРЕДСТВОМ КАКИХ-ТО СОВЕРШЕННО ДРУГИХ МЕХАНИЗМОВ.
|
|
|
Увы, в традиционной школе все перевернуто вверх ногами. Там - культ знаний. Там - слепая уверенность в том, что само по себе " накопление знаний" - это и есть генеральный путь образования человека. Там - настойчивая культивация свойств памяти как основного средства вхождения человека в мир культуры. И родители, ведущие своего ребенка в первый класс, пожалуй, наиболее озабочены вопросом: а хорошая ли у их ребенка память? Мол, главная деятельность ребенка в школе - это деятельность запоминания. Будет хорошо запоминать - будет хорошо учиться. " Хорошо запоминать" и " хорошо учиться" - это своего рода синонимы в сознании родителей и учителей. И никто не желает признаться себе в том, что это - откровенный блеф, и что способность запоминания слеплена из совершенно иного теста, нежели способность мышления, а, следовательно, и способность подлинного учения. На самом деле " хорошо учится" вовсе не тот, кто " хорошо запоминает", а тот, у кого каким-то образом поставлены базовые мыслительные структуры. Но из " знаний" эти базовые мыслительные структуры заведомо не образуются. И к структурам математического мышления это относится, пожалуй, в наибольшей степени.
Единственно возможный и по-настоящему действенный путь освоения математики - это путь понимания, а вовсе не путь запоминания. " Запоминать" математику абсолютно нелепо, смешно, абсурдно и бессмысленно, коль скоро понимание составляет ее наиболее глубокую и точную суть. А это и значит, что учителя, заставляющие тех детей, которые не понимают математику, тупо эту математику учить, демонстрируют крайний непрофессионализм, глубокую математическую и педагогическую неграмотность.
|
|
|
Вернемся к вопросу: почему некоторые дети оказываются математически способными? Конечно, легче всего все спихнуть на матушку-природу: мол, родились такими. Однако и это не снимает главного вопроса: что же это за качества такие, которыми обладает сознание ребенка, которого мы называем " математически способным"?
Признаемся честно: сегодняшняя школьная математика не знает ответа на этот вопрос, а, значит, и весь ее методический инструментарий непонятно на что направлен.
Счет в никуда
Особенно ярко этот методический абсурд представлен в содержании математического образования в начальной школе. Основная задача, которую решает математика в начальной школе - это освоение процедур счета. Но разве само по себе умение быстро и правильно считать является признаком математического мышления? Мы знаем замечательных циркачей-мнемотехников, так называемых " артистов оригинального жанра", которые демонстрируют чудеса вычислительной техники и памяти, перемножая и возводя в умопомрачительные степени астрономические числа или демонстрируя удивительную способность к запоминанию гигантских произвольных числовых рядов. Однако следует ли из этого, что они обладают хотя бы толикой математических способностей? И наоборот: хорошо известно, что многие великие математики весьма скверно считали в уме и нередко обладали отвратительной памятью. Тем не менее, традиция могуча и непреодолима: никому не приходит в голову усомниться в том, что смыслом и сутью начального математического обучения должно являться обучение счету - искусству быстро и правильно вычислять. А это значит, что содержание начального математического обучения вообще не озабочено вопросом формирования у ребенка основ математического мышления или вопросом постановки структур математического понимания.
Таким образом, механическое натаскивание на процедуры счета, столь любимое нашей начальной школой, является воистину " счетом в никуда" совокупностью операций скорее бессмысленных, чем продуктивных с точки зрения развития собственно математических способностей.
Разумеется, искусство счета или искусство арифметики включает в себя математическую составляющую - но эта составляющая менее всего имеет отношение к свойствам памяти. Скажем, ребенок, который ВЫУЧИЛ НАИЗУСТЬ таблицу умножения - это ребенок, который даже не соприкоснулся с собственно математической составляющей этой таблицы. Но вот ребенок, который ПОЧУВСТВОВАЛ КРАСОТУ этой таблицы, почувствовал красоту ее внутренней логики, красоту ее внутреннего построения, красоту числовых закономерностей и взаимосвязей, - это ребенок, который безусловно приблизился к математической сути этой таблицы, даже если он и не выучил эту таблицу " наизусть", " чтобы от зубов отскакивало". Зато у него появилось ощущение радости от переживания красоты числового орнамента, заключенного в эту таблицу, и появилось желание расширить учебную таблицу, построить таблицу умножения для расширенных числовых рядов… Математически мыслящий ребенок всегда предпочтет ЗАДУМАТЬСЯ и МОДЕЛЬНО ПРЕДСТАВИТЬ себе то или иное действие умножения, а не выпалить, не раздумывая, некий готовый ответ. Математически мыслящий ребенок всегда - хотя бы на секунду! - задумается при ответе на любой, даже самый простой вопрос.
|
|
|
" Сколько будет пятью пять? " Ребенок, совершенно равнодушный к математике, бездумно и радостно тут же выпалит: " Двадцать пять! ", демонстрируя, что уж такую-то " легкотню" он знает наизусть. Зато ребенок с математическим мышлением, т. е. ребенок, который почувствовал " эстетический вкус" таблицы умножения, даже в таком - казалось бы, совершенно простом случае! - сделает хотя бы микросекундную задержку. И это будет не задержка, связанная с активизацией памяти, а задержка, связанная с активизацией мысли. Он не откажет себе в удовольствии лишний раз пережить ЭСТЕТИКУ данного арифметического действия и увидеть данное арифметическое действие СИСТЕМНО, в контексте всей таблицы или ГРАФИЧЕСКИ - как геометрическую форму квадрата со стороной в пять единиц. Но ни в коем случае не будет " выпаливать" выученную наизусть ритуальную формул: " пятью пять - двадцать пять! "
Математическая эстетика
Вообще принято считать, что математическое мышление принципиально противостоит мышлению гуманитарному. Мол, язык математики - это сухой язык цифр. А что можно делать с сухими цифрами? Только зубрить!
Однако вот парадокс: любой профессиональный математик знает, что " красота" является ничуть не меньшим критерием математичности, нежели " точность". Впрочем, и " красота", и " точность" - это такие понятия, которые в применении к математике требуют существенных пояснений.
" Какое красивое решение! "; " Какое красивое построение! "; " Какое изящное доказательство! " - для профессионального математика такие формулировки самоочевидны и повсеместны. И в этих формулировках, заметим, нет ни грана фальши, ни грана игры. Это абсолютно точные формулировки. Смею настаивать, они выражают самую глубокую суть математического мышления.
И здесь мы подходим к очень странному и поразительному обстоятельству: оказывается, математическое мышление ГЛУБОКО ЭСТЕТИЧНО по самой своей сути. Оно насквозь пронизано идеями гармонии и орнамента, идеями красоты и порядка. Можно выдвинуть даже более сильный тезис: в каких-то своих самых глубоких культурных основаниях ЭСТЕТИКА СОВПАДАЕТ С МАТЕМАТИКОЙ, и математика в своих исторически первых формах есть не что иное, как попытка описания и воспроизведения гармонии, попытка описания и воспроизведения красоты в ее орнаментальных формах. Любой элементарный орнамент есть не что иное, как простейший математический объект, который может быть описан как та или иная числовая последовательность. И наоборот: любая числовая закономерность может быть представлена орнаментально, графически.
Удивительно, но современные учебники математики для начальной школы совершенно упускают из виду это обстоятельство; они предпочитают язык голых цифр и язык голого счета - " счета вообще". Они предлагают множество арифметических " примеров" на те или иные арифметические правила; причем дают эти арифметические примеры с нарочитым пренебрежением к идее гармонизации, с нарочитым пренебрежением к идее числового орнамента. А ведь числовой орнамент - это великая сила, способная пробудить математический вкус, родить математическую увлеченность у любого без исключения ребенка.
Две математики
Любопытная вещь: ребенок, которого мы называем " математически способным", заведомо не нуждается в тех методических ухищрениях, которыми наполнены сегодняшние учебники математики для начальной школы. Как правило, для такого ребенка поэтапное, в соответствии с программой изучение математики в первых классах - это топтание на месте и потеря времени.
Но может быть эти учебники сделаны для математически неспособных детей? С этим можно было бы согласиться, но с одной-единственной оговоркой: разжевывая элементарное и бесконечно топчась на месте, эти учебники вовсе не направлены на то, чтобы неспособные дети ПОНЯЛИ математику, а лишь на то, чтобы они ее " усвоили", в смысле " запомнили". Абсолютное большинство современных методических ухищрений направлены на свойства памяти, но не на свойства мышления, не на свойства понимания.
Особенно ярко это проявляется при переходе из начальной школы в среднюю: содержание современной начальной школы, как это ни парадоксально, крайне слабо состыковано с содержанием среднего школьного звена. И это ни для кого не является тайной. Миллионы родителей сталкивались с этой проблемой: как бы замечательно ни учился ребенок в начальной школе, это ничуть не гарантирует хорошей успеваемости при переходе в среднее звено. Вчерашний отличник за один или два года превращается в унылого троечника, а то и двоечника, абсолютно не понимающего, чего от него хотят учителя.
И дело не просто в возрастных проблемах.
Ему говорят: " учи! ", - и он добросовестно учит. С ничуть не меньшей степенью добросовестности, нежели в предшествующих классах. Но почему-то это перестает помогать. Почему? Ну, хотя бы потому, что программа начальной школы может быть освоена без включения способности понимания - исключительно средствами памяти. Зато в средней школе ребенок сталкивается с таким материалом, который уже принципиально не возьмешь памятью. А ему по-прежнему говорят: " учи! ", и он добросовестно учит, потому что ничего другого не умеет. А в результате с каждым днем он не только не приближается к математике, а все более от нее отдаляется.
Но, таким образом, можно с высокой степенью уверенности утверждать, что математика начальной школы совершенно не подготавливает сознание ребенка к встрече с математикой среднего звена. Та математика, с которой сталкивается ребенок на пороге средней школы, - это математика из совершенно иного мира или даже из иной Вселенной по сравнению с математикой, которую ребенок изучал в начальной школе. Слова вроде бы все знакомы - а смысл ускальзывает напрочь. Все столь добросовестно выученные им понятия - сложение, вычитание, деление, число и т. д. - неожиданно оборачиваются таким своим содержанием, которое напрочь перечеркивает сложившиеся структуры понимания, и это заставляет ребенка почувствовать себя полным идиотом и тупицей.
Блеф вычитания
Приведу простой пример.
Начиная с первого класса дети осваивают арифметическую операцию вычитания. Учебник, а вслед за учебником и учитель объясняют детям эту операцию с помощью терминов " уменьшаемое", " вычитаемое" и " разность". При этом ребенок получает " твердые знания", согласно которым вычитать можно из большего меньшее, но не наоборот, и что в результате вычитания всегда происходит " уменьшение" некоего исходного числа (кое и именуется поэтому " уменьшаемым" ).
Но это оборачивается полным абсурдом, когда наступает время математики среднего школьного звена. Ведь в алгебраической математике вообще нет такой операции " вычитание" (о каком " вычитании” из большего меньшего можно говорить, допустим, в алгебраической формуле a-b=c? ), а есть лишь известная операция сложения, но сложения с отрицательными числами. Школьной программе приходится всячески изворачиваться, дабы сохранить романтическую верность понятию, введенному в начальной школе; однако мало кто из учащихся догадывается, что все те новые определения операции вычитания, с которыми он сталкивается в конце пятого класса - это по сути БЛЕФ. Ребенку пытаются объяснить, каким таким образом из трех можно вычесть восемь, а из минус пяти - пятнадцать (а ведь здесь явно из меньшего " вычитается" большее! ), сохраняя традиционное правило вычитания (про " уменьшаемое", " вычитаемое" и " разность" ). Однако ребенок смутно догадывается, что его каким-то образом дурят: классическая математическая Вселенная начальной школы переворачивается у него в голове вверх тормашками.
Какое уменьшаемое? Какое вычитаемое? Все традиционные понятия, вызубренные в начальной школе, выглядят сущей насмешкой по отношению к новой математической реальности - реальности действительных чисел.
Насколько понятнее и проще говорить о СЛОЖЕНИИ с отрицательными числами, когда равные численные значения (но с противоположными знаками) взаимно уничтожаются, так сказать " аннигилируют", сохраняя остаток большего (отрицательного или положительного) по модулю числа. В традиционной же школьной схеме получается, что вычитание из трех восьми приводит к появлению числа “минус 5”, которое по своему абсолютному численному значению... БОЛЬШЕ, нежели исходное, т. е. " уменьшаемое".
Напомню в этой связи, что в математике областью БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ чисел является область чисел, в пределе стремящихся как к плюс бесконечности, так и к минус бесконечности, а областью БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ - область чисел, стремящихся в пределе к нулю как в положительной, так и в отрицательной части рационального ряда; соответственно б’ольшими отрицательными или положительными числами мы должны называть числа, находящиеся ДАЛЬШЕ на числовой прямой от нуля ПО ОБЕ его стороны, и потому мы вынуждены признать, что отрицательное число -5 БОЛЬШЕ, чем отрицательное число -1 (что и выражается в понятии " абсолютного значения" ).
Таким образом, новый вираж, закладываемой школьной программой по математике, полностью противоречит всему предшествующему интеллектуальному опыту ребенку. И полностью противоречит программе, по которой учился ребенок в предшествующих классах. А это значит, что ребенка попросту обманули. Обманули учителя, методисты, учебники. Обманула школа. И любой ребенок, столкнувшийся с фактом этого обмана, понимает: обманывать - в природе школы.
Иллюзии равенства.
Впрочем, и остальная арифметика, преподаваемая в начальной школе, оказывается весьма далека от того математического содержания, с которым ребенок сталкивается в среднем и старшем звеньях школы. И не просто далека, а, зачастую, прямо противоположна.
Скажем, знак равенства - фундаментальный математический знак - представлен в начальном школьном образовании, мягко говоря, странным образом. Миллионы детей, приступающие к освоению начальной школьной арифметики, осваивают этот знак вовсе не как знак РАВЕНСТВА, т. е. знак, УРАВНИВАЮЩИЙ левую и правую части того или иного выражения, а как знак " ПОЛУЧИТСЯ", т. е. знак, означающий одностороннее движение слева направо: " если к двум прибавить три, ПОЛУЧИТСЯ пять! ".
Но ведь математическая суть этого знака совершенно в ином: этот знак обозначает логически жесткую структуру РАВНОВЕСИЯ правого и левого! Однако множество детей, изучающих начальную арифметику, видят в этом знаке именно " получится", а не " равно". И потому сама идея УРАВНЕНИЯ как поиска того единственного значения неизвестного, при котором левая и правая части математического выражения окажутся равны, оказывается этим детям недоступна. Равно как недоступна оказывается им и идея НЕРАВЕНСТВА. И игры со значками " больше - меньше" здесь не помогают: слишком обширен вычислительный опыт, в котором знак равенства - это именно " получится", а не что-либо иное…
Можно еще много говорить о тех откровенных математических обманах, которыми наполнена программа по математике для начальной школы. Но естественно возникает вопрос: какова ПРИРОДА этих многочисленных обманов? В чем природа столь фундаментального разрыва между содержанием образования в начальной и средней школах?
|
|
|
