 |
Глава V. Личностное пространство модели. Глава VI. Удивительные фигурки.
|
|
|
|
ГЛАВА VI
УДИВИТЕЛЬНЫЕ ФИГУРКИ.
В двух предыдущих главах шла речь, фактически, об одной-единственной процедуре – процедуре публичного моделирования ученической тетради “в клеточку” на демонстрационном листе. И на примере этой процедуры было показано, как могут реализовываться в образовательном процессе принципы вероятностного подхода.
Вместе с тем, следует понимать, что такого рода процедур может быть предложено или изобретено очень много. И каждая из них может быть развернута в целую математическую Вселенную.
Ниже будут описана группа задач несколько другого толка. Я попытаюсь показать, насколько эффективным может оказаться математическое моделирование с помощью клеточной тетради – с помощью того особого модельного пространства, которое столь тщательно выстраивалось на предыдущих страницах.
Кстати говоря, описываемая ниже группа задач вполне может быть использована не только при работе в классе, но и при индивидуальной работе родителей с детьми; при этом в качестве демонстрационного листа можно использовать обыкновенную тетрадь.
ШАГ 1. Таинственный контур.
Итак, демонстрационный лист тем или иным образом расчерчен, клеточки просчитаны. Что дальше?
А дальше начинается самое важное и самое интересное: работа с комплексом совершенно особых задач на идентификацию геометрической конфигурации и математическое описание произвольных многоклеточных фигурок, вычерчиваемых учителем на демонстрационном листе и воспроизводимых детьми в их тетрадях.
Все начинается с того, что на демонстрационном листе обводится контур и заштриховывается фигурка произвольной конфигурации, состоящая из трех, четырех, пяти, шести и так далее клеточек.
|
|
|
Вначале клеточек должно быть минимальное количество, впоследствии их количество может быть доведено до весьма значительного. Но сколь бы ни была сложна фигурка, схема работы с ней должна быть одна и та же: вначале дети пытаются отгадать, сколько клеточек содержит та или иная фигурка, а затем проверяют свои догадки, ведя поклеточный обсчет.
Конфигурация рисуемых фигурок носит при этом абсолютно произвольный характер. Это, так сказать, “зона свободного творчества” педагога и учащихся.
Рисунок 1.
Примеры первоначальных фигурок, с которыми можно начинать работу.
Прорисовывание контура фигуры и нанесение штриховки должно происходить таким образом, чтобы ребенок не мог увидеть, что именно рисует педагог, и чтобы у него возникало ощущение загадки, интриги. В то же время рисование должно происходить на глазах у ребенка.
Педагог, прорисовывающий и штрихующий фигурку, может, к примеру, прикрывать свой рисунок ладонью - в том случае, если он работает с небольшой группой детей и выполняет свой рисунок в тетради. Однако принципиально то же самое делается и в случае, когда педагог работает с большим классом и рисует свою исходную фигурку на демонстрационном листе; разница только в том, что в этом случае нарисованную фигурку - в силу ее больших размеров - приходится прикрывать листом картона или книгой.
Так или иначе, но столь простой прием резко активизирует внимание ребенка: у него возникает острое желание увидеть, что же там такое рисует педагог? Однако педагог упорно ведет свою линию, создавая вокруг своего рисунка оболочку таинственности: ведь таинственность, загадочность - это то, что вообще является важнейшим познавательным стимулом в человеческой жизни. По той же причине не следует давать учащимся никаких предваряющих объяснений по поводу того, что и зачем рисует педагог на доске: только в этом случае познавательная интрига окажется действительно полноценной.
|
|
|
Важное замечание: на первых порах следует предъявлять ребенку только такие фигурки, в которых квадратики примыкают друг к другу своими сторонами (см. рис. 1) и избегать фигур, построенных на соприкосновении вершин углов (см. рис. 2).
Рисунок 2.
Таких фигурок следует на первых порах избегать.
Очерченную фигурку можно заштриховать легкой диагональной штриховкой. Но не следует выделять отдельные клеточки внутри рисуемых фигурок посредством различной штриховки или посредством дополнительного прочерчивания контуров этих клеточек (см. рис. 3). Это будет мешать дальнейшей работе фигуркой, когда возникнет необходимость разбивать фигурку на части. Кроме того, когда каждая отдельная клеточка отчетливо видна за счет дополнительно прорисованного контура, это мешает активизации структур пространственного воображения ребенка.
Рисунок 3.
Типичная ошибка, которую делают обычно дети, перерисовывая фигурку к себе в тетрадь: они обводят дополнительным контуром каждую клеточку.
Нарисованная фигурка должна быть покрыта сплошной штриховкой, " смазывающей" границы между отдельными составляющими ее клеточками. Это создает дополнительную учебную трудность в ситуации, когда дети будут решать задачу на определение количества клеточек, из которых состоит эта фигурка. Понятно, что с фигуркой, в которой границы между клеточками скорее угадываются, чем видны, работать труднее и интереснее: в такой фигурке количество составляющих ее клеточек не сосчитывается напрямую, а, скорее, угадывается по некоторым косвенным данным.
ШАГ 2. В свете молнии.
После того, как очерчивание контура фигурки и штриховка полностью завершены, рисунок наконец-то показывается детям, но... всего лишь на одно мгновение.
Ровно на такое количество времени, сколько требуется для того, чтобы отдернуть скрывающую рисунок ладонь от поверхности классной доски или листа бумаги и тут же вернуть ее на место.
И уже после такого рода мгновенной демонстрации нарисованной фигурки детям задается вопрос: " Кто успел заметить, сколько клеточек в той фигурке, которую я нарисовал и спрятал? "
|
|
|
Следует особо подчеркнуть: чем короче будет мгновение, на которое взгляд ребенка соприкоснется с заштрихованным контуром, тем труднее, а, значит, интереснее будет ребенку отвечать на последующие вопросы и выполнять последующие задания.
Казалось бы, резко ограничивая время демонстрации фигурки, педагог существенно усложняет ребенку задачу. Однако парадокс заключается в том, что до сих пор мне не удалось встретить ни одного ребенка, которому это усложнение пришлось бы не по вкусу. С какой бы детской аудиторией я ни работал, всякий раз это странное, казалось бы, действие вызывает у детей крайнюю степень оживления и энтузиазма. Даже у самых заторможенных детей в этот момент просыпается в глазах искра интереса и происходит несомненная мобилизация внутренних ресурсов. В классе возникает азарт, дети начинают выкрикивать различные варианты.
ШАГ 3. Еще одна вероятностная таблица.
И снова педагог записывает все предлагаемые детьми варианты в вероятностную таблицу. Но на этот раз можно ожидать, что активность детей окажется гораздо выше, а количество вариантов, " попадающих в точку", - неизмеримо больше, нежели в том случае, когда детям предлагалось угадать количество вертикалей и горизонталей на демонстрационном листе. Ведь на первых порах детям приходится иметь дело с достаточно простыми фигурками, состоящими из небольшого количества клеточек. Единственная сложность - успеть " ухватить" контур и сообразить, сколько клеточек может поместиться в этом контуре.
Поэтому и таблица здесь будет выглядеть несколько иначе, нежели в предыдущем случае. В предыдущем случае каждая строка, каждый вариант носил персонифицированный характер; разброс вариантов был очень велик, и потому таблица состояла из трех колонок: 1. Имя ребенка; 2. Вариант; 3. Погрешность. Теперь же последовательность колонок несколько изменяется: в первую колонку записывается вариант, во вторую - имена всех тех детей, которые согласны с этим вариантом, а в третью, как и в первом случае - погрешность. Причем следует иметь в виду, что в наиболее простых случаях, когда фигурка состоит из трех или четырех клеточек, а дети достаточно развиты, ВСЕ дети могут назвать правильный вариант с первого раза, и тогда вероятностная таблица оказывается невозможна. В таком случае фигурки усложняются до той поры, пока вероятностный разброс не окажется достаточно большим.
|
|
|
При этом естественно, что на этапе угадывания от каждого ребенка принимается только один вариант. Это создает у ребенка ощущение ответственности, и если на первых порах многие дети выкрикивают свои варианты, что называется, " от фонаря", то запись вариантов в таблицу организует и дисциплинирует мышление, заставляет ребенка более ответственно относиться к выдвигаемым вариантам.
Как и в предшествующих случаях составление вероятностной таблицы прогнозов дает детям импульс к рефлексивной работе, к сравнению своей способности к интуитивному угадыванию с аналогичной способностью у других учеников, опору для самокоррекции и возможность для арифметической работы с получившейся погрешностью.
ШАГ 3. Повторная демонстрация.
Работа с погрешностями или ошибочными вариантами ведется на этот раз по новой схеме, в процессе повторной мгновенной демонстрации.
Дело в том, что процедура мгновенной демонстрации - особенно в силу своей первоначальной неожиданности (ведь учитель никак не подготавливает детей к тому, что он собирается делать) - оставляет " за бортом" тех детей, которые по тем или иным причинам просто не успели сосредоточить свое внимание на демонстрационном листе. Поэтому следует осуществить повторную мгновенную демонстрацию фигурки.
Как правило, на второй раз даже самые ленивые и отключенные делают все возможное, чтобы " остановить мгновение" и поймать загадочную фигурку в фокус своего зрения. Остальные же получают возможность проверить свою первоначальную догадку - но снова в условиях жестких временных ограничений.
Разумеется, мгновенный повтор срабатывает только в том случае, если фигурка оказывается не слишком сложна, не слишком объемна. Если же фигурка сложна (состоит из многих десятков клеток), то на проверку догадок нужно отпускать достаточное количество времени (впрочем, раз от разу это время сокращая).
ШАГ 4. Фактор времени.
Важным фактором активизации детского внимания в условиях вероятностного урока является наличие в классе часов с большим циферблатом и секундной стрелкой. За счет фактора времени, с одной стороны, можно усложнять условия некоторых задач, а, с другой стороны, сами часы являются весьма эффективной моделью фрагмента числовой реальности.
|
|
|
Скажем, после того, как учитель дает своим ученикам задание проверить правильность своих догадок относительно действительного количества клеточек в тех или иных фигурах, он начинает отсчитывать время, следя за движением секундной стрелки, и показывая, какой путь эта секундная стрелка уже прошла. При этом отсчет может вестись шагами в пять, десять или пятнадцать секунд - в зависимости от сложности и долговременности задания. “Прошло уже пять секунд… Десять… Пятнадцать…” А дети, подгоняемые фактором времени, торопятся завершить свой обсчет.
Другой вариант введения фактора времени - это выделение определенного количества времени на выполнение какого-то задания (скажем, двух минут), а затем - отсчет времени " наоборот": " Прошло полминуты, осталось полторы минуты.... Прошла одна минута, осталось столько же... Прошло полторы минуты, осталось тридцать секунд... Двадцать пять... двадцать... пятнадцать... десять... пять..., четыре..., три..., две..., одна... Все! Конец работы! Кто сколько успел сделать? "
Смею уверить, что все описанные процедуры - это не только фактор активизации ребенка и мобилизации его энергии, н ои особый способ работы с феноменом числа, великолепный счетный тренинг, а так же достаточно эффективный способ формирования того, что можно назвать " чувством времени" или " интуицией времени".
Важно только соблюсти корректность психологического контекста при использовании фактора времени: учитель ни в коем случае не должен устраивать соревнование между детьми на выявление " лучших" и " худших".
Смысл использования фактора времени чисто информационный: учитель считает секунды, а дети получают возможность услышать, так сказать, " ритм времени" и почувствовать на личном опыте, что есть одна секунда, пять секунд, тридцать секунд или одна минута. Кроме того часовой циферблат позволяет УВИДЕТЬ число как длительность, поскольку промежуток между делениями циферблата - это и есть элементарная модель числа.
Ну, и крайне важно, что такого рода промежуток на часовом циферблате многофункционален: в одном случае он обозначает секунду (для секундной стрелки), в другом - минуту (для минутной стрелки), а в третьем - двенадцать минут (для часовой стрелки). И это тоже вариант работы с числовым масштабом.
ШАГ 5 Когда счет " в кайф".
После того, как дети осуществили не менее двух попыток мгновенной идентификации фигурка открывается на более продолжительное время.
Причем совершается это как бы невзначай - например, на перемене; при этом педагогу не нужно давать никаких руководящих указаний типа: " Дети! А теперь сосчитайте, сколько на самом деле клеточек содержит данная фигурка! ".
В том-то и состоит прелесть ситуации, что возбужденные азартом дети САМИ, по собственной инициативе начнут проверять свои догадки и пересчитывать клеточки открывшейся их взорам фигурки, и они будут радостно, на весь класс кричать: " Я угадал! ". Ведь это так увлекательно: вначале - предположить, а потом - проверить свою догадку.
Самые активные дети будут подбегать к доске, пересчитывать клеточки пальчиком, а другие будут наблюдать за деятельностью первых, и, возможно, у них впервые будет возникать внутренняя мотивация к счету: они обнаружат, что, оказывается, считать - описывать некий объект счетным образом - может являться крайне увлекательным занятием.
По мере увеличения фигурок и усложнения их конфигурации такого рода коллективно-разделенная деятельность будет выступать в качестве мощного счетного стимула даже для самых математически инертных учеников.
ШАГ 6. Воспроизведение по памяти.
Итак, все дети (кто-то со второй попытки) определили, что спрятанная фигурка состоит из трех (или более) клеточек, а затем посредством счета проверили, насколько их варианты оказались верными. И здесь начинается самое трудное и интересное.
Учитель снова закрывает чертеж, предлагает детям открыть тетради в клеточку, и… ПО ПАМЯТИ воспроизвести в ней ту фигурку, которую они всего мгновение (или несколько мгновений) видели на доске.
" А теперь откройте свои тетради в клеточку и попытайтесь по памяти воспроизвести в ней ту фигурку, которую только что видели. Воспроизведите ее так, чтобы одна клеточка на доске соответствовала одной клеточке вашей тетради"
Само собой разумеется, что это весьма и весьма непростое задание для ребенка, который едва-едва начинает учиться в школе. Ведь проблема не только в том, чтобы продолжать удерживать в памяти форму фигурки, но и в том, чтобы соотнести эту форму с чистым тетрадным листом.
Как правило, первые попытки такого рода оказываются у 6-7 летнего возраста не совсем удачными.
Даже если ребенок верно воспроизводит форму фигурки, первый его рисунок оказывается неаккуратным: линия дрожит и топорщится в разные стороны; прямые углы оказываются кривыми... А кроме того ребенку оказывается весьма непросто нарисовать целостный контур фигурки, не прочерчивая внутренних клеточек.
И, тем не менее, важно, чтобы эта первая попытка оказалась сделана.
ШАГ 7. Диагностика готовности к школе.
Описываемая задача представляет собой, между прочим, достаточно качественную тестовую процедуру для определения степени готовности ребенка к школе. Проведение такого рода тестовых процедур с детьми, достигшими физического возраста 5-7 лет, позволяет довольно легко выделить три основные группы детей с точки зрения их умственного возраста, и, соответственно, с точки зрения их готовности к элементарному школьному обучению.
1. Дети, принципиально готовые к школе, без особого труда способны за доли секунды считать с предъявленного рисунка и удержать в памяти фигурку из трех-четырех клеточек, а затем по памяти воспроизвести в своей тетради не только количество предложенных клеточек, но и заданную конфигурацию. Это дети, чей умственный возраст достиг условной границы в 7 лет (не путать с физическим, " паспортным" возрастом, который может составлять у таких детей и шесть, и даже пять лет), и они безусловно готовы к эффективному и полноценному обучению в первом классе. Впрочем, иногда и семилетний ребенок не способен решить такого рода задачу, а это значит, что его умственный возраст отстает от возраста физического.
2. Дети, находящиеся в непосредственно предшкольном возрасте: это дети, которые уже пытаются решить поставленную перед ними задачу воспроизведения фигурки по памяти, но ошибаются - либо в количестве клеточек, либо в конфигурации, либо в ориентировке фигурки на плоскости тетрадного листа. Это дети, в отношении которых возможна и целесообразна специальная обучающая деятельность, когда им предлагаются задания с более простыми фигурками; в результате этой деятельности они достаточно скоро выходят на первый уровень обучения.
3. Что касается детей, совершенно не готовых к школе, то даже воспроизведение по памяти фигурки из трех клеточек вызовет у них серьезные затруднения: либо они вообще откажутся от выполнения задания, будучи неспособны уловить его суть, либо начнут обрисовывать тетрадные клеточки без всякой связи со сформулированным заданием (даже не пытаясь воспроизвести заданное количество клеточек и заданную конфигурацию). Это те дети, для которых не только обучение в школе, но и любая целенаправленная подготовка к школе являются пока психологически преждевременными. Их умственный возраст можно определить как четырех-пятилетний, а, следовательно, их максимально успешное развитие происходит пока за пределами собственно школьного пространства с его специфическими учебными задачами и специфической учебной деятельностью. И если тот или иной ребенок принципиально отказывается от решения задачи на идентификацию и самостоятельное воспроизведение по памяти элементарной геометрической фигурки из трех-четырех клеточек, это значит, что описываемая здесь работа оказывается для него заведомо преждевременной и нецелесообразной.
И в любом случае, всегда следует помнить, что раннее " обучение ради обучения", т. е. обучение, не ориентированное на потребности ребенка и реальный уровень его возможностей, это обучение опасное и вредное для психического и интеллектуального здоровья детей.
ШАГ 8. Для детей, не готовых к школе.
Впрочем, какую-то работу на мгновенную идентификацию фигурки можно проводить даже с детьми, совершенно не готовыми к школе – детьми четырех или пяти лет. Правда, в этом случае даже задание на мгновенную идентификацию фигурки даже из трех клеточек может оказаться слишком сложным.
Что же делать, если ребенок не успевает зафиксировать и удержать в памяти фигурку из трех клеточек ни с первого, ни со второго раза?
В этом случае следует провести серию тренировочных упражнений с фигурками, состоящими из одной и двух клеточек.
В последнем случае ребенок должен продемонстрировать умение удерживать вертикальное или горизонтальное расположение столбика.
ШАГ 9. Сходства и различия.
Только после того, как КАЖДЫЙ ребенок попробует воспроизвести по памяти в своей тетради предъявленную фигурку, учитель окончательно открывает рисунок на доске и предлагает детям сравнить то, что у них получилось в тетрадях, с тем, что нарисовано на доске.
При этом детям предлагается столь любимая всеми ими игра на поиск сходств и отличий между двумя рисунками. В данном случае - между исходным, предъявленным учителем рисунком на демонстрационном листе, и тем, который получился у ребенка в тетради: " А теперь попробуйте заметить и рассказать, чем ваши рисунки похожи, а чем не похожи на тот, который нарисован у меня на доске? "
И здесь - крайне важный момент.
Не учитель указывает ребенку на недостатки его " чертежа".
Нет, ребенку предлагается САМОМУ определить, чем его рисунок похож, а чем отличается от того, который нарисован на доске, а, значит, насколько он получился.
И дети с огромным удовольствием ищут эти сходства и эти различия. Ищут индивидуально и коллективно. Споря с собой и возражая друг другу.
" Чем похожи?.. Клеточек столько же... Там три и у меня три... И загибается фигурка в ту же сторону... "
" Замечательно! - восторгается учитель. - Как ты все хорошо видишь, и как у тебя все действительно похоже получилось!.. А чем не похожи? "
" Ну... там мелом нарисовано, а у меня ручкой... "
" А еще? "
" Там большие клеточки, а у меня маленькие... "
" А еще? "
" Ну, у меня криво как-то, и линии в разные стороны смотрят... И углы какие-то кривые получились... И неровное все... "
" Как здорово, что ты все это увидел! А можешь попробовать нарисовать еще раз - так, чтобы, и линии ровными получились, и углы прямые? Только возьми для этого тонкий-тонкий карандаш, или ручку, которая писала бы тоненько-тоненько! "
ШАГ 10. Коррекция ориентации.
Весьма распространенной ошибкой, которую допускают некоторые дети при воспроизведении по памяти даже простых фигурок является та, что ребенок не может воспроизвести ориентацию фигурки в пространстве - " хвостик", который на демонстрационном чертеже загибался влево, у ребенка загибается вправо и т. д. И некоторые дети не могут этого заметить даже после того, как фигурка окончательно предъявляется им для сравнения со своим чертежом - как правило, это дети с нарушенной право-левой ориентацией.
Таким детям требуется специальная индивидуальная работа, во время которой рисунок ребенка накладывается на исходный - так, чтобы один просвечивал сквозь другой (скажем, на фоне светлого окна или лампы). Естественно, что при этом демонстрационный рисунок и рисунок в тетради должны рисоваться в одном масштабе, чтобы несовпадение конфигураций при наложении рисунков друг на друга было очевидным. В результате такого рода работы у ребенка достаточно быстро происходит коррекция пространственной ориентации.
Рисунок 4.
Пример воспроизведения фигурки рукой ребенка, когда в процессе перерисовывания оказалась сменена ориентация фигурки в пространстве.
Шаг 11. Тонко и точно.
К слову замечу: тренировка способности рисовать тонкую и уверенную линию у себя в тетрадях при копировании загаданных фигурок – это и тренировка мелкой моторики руки, и тренировка что можно назвать " графическим зрением". Но самое главное - у ребенка продолжается формирование элементарного представления о математической погрешности: какая степень кривизны линий и углов может считаться допустимой, а какая является заведомо недопустимой при моделировании ребенком элементарного математического объекта у себя в тетради.
Естественно, что границы такого рода погрешности условны. Но важно, чтобы у ребенка формировалось ощущение собственного движения от большей погрешности к меньшей по мере формирования визуальной и графической культуры.
А для этого требуется, чтобы с самого начала стремление к максимальной точности рисуемоей линии было заложено в ребенка как ценность. Надо постоянно подчеркивать успехи ребенка по мере того, как его графика становится более уверенной и красивой, и всячески поощрять эти успехи, наряду с собственно математическими успехами по расшифровке и символическому описанию различных графических реальностей.
Кстати говоря, несколько слов о чертежных инструментах, которыми пользуется первоклассник.
Почему-то принято считать, что главное достоинство детских учебных принанадлежностей состоит в том, чтобы они были яркими и внешне привлекательными. При этом практически игнорируется вопрос о точности этих инструментов. Я настаиваю, однако, что первоклассник с первого дня учебы должен учиться обращаться с качественными чертежными инструментами.
Прежде всего это относится к качеству карандаша - это должен быть остро заточенный карандаш с неломким грифелем. Край линейки, которой пользуется ученик, должен быть тонким и плотно прилегающим к бумаге. Измерительные деления должны быть профессионально четкими.
Кроме того в арсенале первоклассника обязательно должна быть перьевая ручка с качественным пером, способным обеспечить тонкую и легкую, " безнажимную" линию письма или чертежа (понятно, что шариковая ручка для этого совсем не подходит - она продавливает бумагу) и цветные остро заточенные карандаши для штриховки и рисунков. Можно, конечно, использовать фломастеры, но следует помнить, что их след слишком ярок и просвечивает на другой стороне тетрадного листа.
Важнейшее умение, которому должен научиться первоклассник уже на самом первом этапе - это умение обводить у себя в тетради контуры различных фигурок без помощи линейки. При этом линия должна быть максимально ровной и точной, строго следующей по фабричным линиям тетрадного листа. Это умение сформируется далеко не сразу, и крайне важно, чтобы с первого дня учебы у ребенка была сформирована установка на формирование такого рода умения.
ШАГ 12. Попытка символической записи.
Но вот фигурки начерчены, сравнение и коррекция произведены. Что дальше?
А дальше наступает чрезвычайно важный момент, когда ребенку предлагается описать нарисованную им фигурку символическим образом.
" А сможет ли кто-нибудь подписать получившийся рисунок - обозначить количество нарисованных клеточек с помощью цифр? "
В сущности говоря, нарисованная учителем (а вслед за ним и детьми) фигурка есть не что иное, как элементарный математический объект - элементарная математическая реальность. Даже если она состоит всего из трех клеточек. А важнейшая абстракция, которая должна сформироваться у ребенка в процессе освоения математики, это как раз представление о том, что символическая математическая запись не беспредметна - у нее всегда есть некое реальное содержание, которое и описывается с помощью математической символики.
Предлагаемая нами " клеточная математика" вся основана, с одной стороны, на графической трансформации элементарных математических объектов (различных фигурок, состоящих из клеточек), а, с другой стороны, на постоянном символическом описании происходящих в реальности преобразований.
Поэтому важнейшее правило, которое учитель вводит уже на первых занятиях: рисунок всегда должен быть подписан.
Иначе говоря, ребенок не имеет права нарисовать какую-то фигурку и не описать ее с помощью математической символики. А элементарное описание элементарной фигурки - это обозначение количества клеточек, из которых состоит эта фигурка, с помощью цифр.
Попросту говоря, под фигуркой из трех клеточек должно появиться символическое обозначение этой фигурки с помощью цифры " 3", под фигуркой из четырех клеточек - обозначение " 4" и т. д., включая многозначные числа, т. е. те, для записи которых требуется несколько цифровых значков. И отныне это правило должно соблюдаться всегда: любой графический контур, появляющийся у ребенка в его тетради по математике, обязательно должен быть символически подписан.
Число и цифра.
Кстати говоря, а что это значит – “подписать число”?
За этим словосочетанием скрывается одна из труднейших для детского понимания математических проблем: проблема числа и его символической записи.
Увы, слишком часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда ребенок, вполне успешно, казалось бы, прошедший обучение в начальной школе, совершенно не понимает различие между числом и его символической записью. Он не понимает, что число - это всегда какая-то реальность, а символическая запись (с помощью одной или нескольких цифр, а также с помощью других математических символов) - это всего лишь описание, способ фиксации первичной математической реальности.
Даже в среднем и старшем звеньях школы многие учащиеся зачастую не видят особой разницы между " числом" и " цифрой", либо наивно полагают, что " цифра - это когда до десяти, а число - это когда десять и больше".
Более того, даже в школьных математических учебниках учащимся рекомендуется порою... " складывать цифры". В частности, в известном правиле про то, какие многозначные числа делятся нацело на три: те, у которых “сумма цифр ” делится на три.
Но ведь это же чушь несусветная! Цифра - это всего лишь символическое обозначение некоей числовой реальности, способ графической фиксации и описания этой числовой реальности. Поэтому операция по " сложению цифр" - это операция немыслимая с точки зрения реального математического объекта. Складывать можно не цифры, а исключительно числа, обозначаемые цифрами.
А непонимание этого обстоятельства детьми может иметь достаточно серьезные последствия для понимания всей математики. В частности, в понимании феномена так называемого “многозначного числа”.
Шаг 13. Многозначные числа..
В первом классе традиционной школы довольно большое внимание уделяется освоению позиционной системы записи в десятичной системе исчисления.
Однако факт заключается в том, что не только дети первого класса, но и дети гораздо более старшего возраста так и не понимают до конца, что же такое десятичная система исчисления и что же такое “многозначность числа”. И особенно отчетливым это непонимание становится тогда, когда возникает необходимость освоить какую-то другую систему исчисления – например, двоичную или двенадцатиричную.
Детям обычно объясняют, что двузначные числа – это те, которые записываются двумя значками, трехзначные - тремя, четырехзначные – четырьмя, и т. д.
Однако при этом дети, как правило, отождествляют число с его цифровой записью в десятичной системе исчисления, и потому искренне полагают (даже учась в старших классах средней школы! ), что, допустим, число десять всегда является двузначным числом, а число пять всегда является однозначным.
Больше того, они полагают, что “однозначность” или “двузначность” – это, так сказать, атрибутивный (неотъемлемый! ) признак самого числа.
Спроси такого ученика: “Число десять является однозначным или многозначным? ”, - и он, не моргнув глазом, ответит: “Конечно, многозначным! ”
И он не виноват. Его так научили.
Но ведь это же полнейший абсурд, потому что само по себе число не является ни однозначным, ни многозначным. Однозначной или многозначной может являться только символическая запись этого числа. И естественно, что в разных системах записи одно и то же число может оказаться записано разным количеством знаков.
Скажем, число десять оказывается двузначным в позиционной записи так называемыми “арабскими цифрами”, но при использовании, допустим, “римских цифр” это число записывается с помощью одного-единственного знака: литеры X. Зато в двоичной системе счисления число “десять” придется записывать не двумя, а неизмеримо большим количеством знаков. Равно как многозначным окажется здесь число пять.
В том-то и состоит суть дела, что “однозначным” или “многозначным” является не само число, а исключительно способ его записи. И потому “многозначным” мы называем то число, которое в данной системе записи записывается с помощью нескольких знаков.
Однако учащиеся начальной школы накрепко усваивают, что сами числа являются “однозначными” или “многозначными”.
Шаг 14. “Арабская” запись.
К слову про " арабскую запись".
Любому школьнику хорошо известно, что цифры, которыми пользуется современная математика, - это так называемые " арабские цифры" (в отличие от " римских цифр", которые так же известны любому образованному человеку).
Но вот незадача: если у римлян действительно были в ходу соответствующие значки, то в арабской культуре ничего похожего на принятое нами написание цифровых обозначений мы не находим.
Но что же в таком случае скрывается за общеизвестной отсылкой к арабскому происхождению всем известной группы символов? Похоже, что арабское происхождение имеют не сами символические значки-цифры, а принцип позиционной цифровой записи при фиксации больших (" многозначных" ) чисел.
В самом деле, чтобы прочитать ту или иную цифру внутри многозначной записи, прежде всего требуется определить, какую позицию занимает эта цифра. А позиция определяется как раз специфически “арабским” отсчетом справа налево (в полном соответствии с арабским принципом письма).
Скажем, двойка будет читаться как " два" лишь в том случае, если она занимает первую позицию справа (например, в записи 32, 152 и т. д. ). Если, однако, двойка занимает вторую позицию справа, она уже будет читаться иначе - " двадцать". И будет обозначать совсем другое число (например, в записи 28, 127 и т. д. ).
Поэтому, ведя символическую запись, следует обратить внимание учащихся на эту странную многозначность функционирования цифры в арабской записи - то, что называется " позиционностью". Оказывается, правильно прочитать цифру можно только зная, на каком месте справа эта цифра находится.
Шаг 15. Позиционные эксперименты.
Чтобы подчеркнуть значимость этой позиционности, можно предложить игру.
Учитель записывает цифру 1 и спрашивает детей: какое число я записал с помощью этой цифры?
Что за вопрос! Дети, естественно, дружно кричат: “один! ”.
“Вы уверены что эта цифра означает “один”? ” - коварно настаивает учитель.
“Да! ” – кричат дети.
“А теперь смотрите внимательно: я не прикасаюсь к этой цифре, я сохраняю ее неизменной, но… записываю рядом с нею нолик. Вы по-прежнему уверены в том, что цифра 1 означает число один? ”
Есть над чем задуматься! Ведь получилось, что та же самая цифра, к которой даже не прикоснулась рука учителя, стала обозначать что-то существенно другое! Только потому, что справа от нее появилась какая-то другая цифра.
Причем, если бы дополнительная цифра появилась слева, с цифрой один ничего бы не произошло. Она по-прежнему означала бы только то, что означала в самом начале.
Да это же самый настоящий фокус!
И можно предложить детям целую серию заданий на изменение смысла цифр через изменение их позиционности. Добавляй с разных концов другие цифры и удивляйся тому, как при этом меняется содержание исходного знака.
А можно и не цифры добавлять, а… места.
К примеру, делаем такую запись: _5_. Договариваемся, что каждая черточка означает пропущенную цифру в записи трехзначного числа, и спрашиваем: “какое число означает цифра “5” в этой записи? ”
Понятно, что в данном конкретном случае цифра 5 означает число пятьдесят. Несмотря на то, что две цифры пропущены.
Таким образом, может получиться целая серия увлекательных заданий.
ШАГ 16. Число и цифра: коррекция пониман
