 |
Сила тяжести меняет лишь концентрацию молекул на разных высотах, но не температуру газа
|
|
|
|
На рис. 11 показаны два графика зависимости давления от высоты z при разных температурах. Следует обратить внимание на то, что в отличие от распределений n(z), кривые p(z) на рис. 11 начинаются в одной точке независимо от температуры.
Это не случайно и имеет простое объяснение.
| Рис. 11 |
Рассмотрим, как ведет себя центр масс газа в поле тяжести.
При анализе ситуации, изображенной на рис. 11, мы приходим к выводу, что
в результате повышения температуры от 
до 
центр масс газа перемещается вверх.
Возникает вопрос: под действием какой внешней силы?
На первый взгляд вроде ничего не изменилось — ни сила тяжести, ни сила реакции со стороны поверхности Земли (ведь давление 
осталось прежним).
На самом же деле в процессе нагревания газа равновесие нарушается, вторая сила оказывается большей по модулю. Она направлена вверх и вызывает перемещение центра масс.
Представим барометрическую формулу в виде 
,
где 
— это высота, на которой давление убывает в е раз.
Значение h играет роль характерной толщины атмосферы .
При 
= 20 г/моль и Т = 280 К величина h = 8 км.
По сравнению с радиусом Земли атмосфера — тонкая пленочка (что и позволяет при получении барометрической формулы считать ускорение g не зависящим от высоты).
Вычислим число молекул с помощью функции распределения Больцмана .
· Возьмем на поверхности Земли площадку с площадью S = 1
· и рассмотрим столб воздуха над этой площадкой.
· В слое толщиной dz на высоте z находится число молекул 
· Интегрируя это выражение по z от 0 до ∞, находим полное число молекул N столбе: 
· Затем умножим N на массу т одной молекулы и на площадь поверхности Земли 
. В результате найдем, что масса М атмосферы
|
|
|
.
Эту задачу можно решить и проще , рассуждая так.
Поскольку атмосфера Земли в целом находится в равновесии, то можно считать, что сила тяжести, действующая на газ в каждом вертикальном столбе единичного сечения, уравновешивается силой реакции со стороны поверхности Земли, т. е. давлением
(1 атм).
Умножив на площадь поверхности Земли, получим Mg, где М — искомая масса.
Отсюда М = 5, 3 • 1018 кг.
Строго говоря, атмосфера Земли не является равновесной.
Атмосфера непрерывно рассеивается, хотя для Земли этот процесс идет очень медленно. Рассеивание обусловлено тем, что в процессах соударения молекул в верхних слоях атмосферы неизбежно возникают молекулы, скорости которых оказываются больше второй космической. И таким молекулам иногда «удается» без столкновений покинуть атмосферу Земли. За все время существования Земля потеряла очень малую часть своей атмосферы.
Из распределения Больцмана возникает следующий «парадокс »: почему в поле тяжести при движении молекул
· вверх их кинетическая энергия уменьшается, а температура остается прежней, т. е. средняя кинетическая энергия не меняется,
· а при движении вниз кинетическая энергия всех молекул увеличивается, а средняя их энергия остается той же?
Этот « парадокс» был разъяснен уже Максвеллом. При движении
· вверх молекулы действительно замедляются, но при этом наиболее медленные молекулы выбывают из потока частиц.
· вниз, наоборот, молекулы не только ускоряются, но одновременно их поток пополняется более медленными молекулами. В результате средняя скорость теплового движения молекул остается неизменной.
Сила тяжести меняет лишь концентрацию молекул на разных высотах, но не температуру газа
. И закон распределения Больцмана как раз и выводится из условия, чтобы температура газа оставалась всюду одной и той же.
|
|
|
Полученное Больцманом распределение относится к случаям,
· когда молекулы находятся во внешнем поле
· и их потенциальная энергия U может изменяться непрерывно.
· С ростом U концентрация частиц уменьшается.
|
|
|
