 |
Тема 2. 5. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)
|
|
|
|
При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (известный в английской терминологии как метод OLS – Ordinary Least Squares) заменять обобщенным методом, т.е. методом GLS (Generalized Least Squares).
Обобщенный метод наименьших квадратов применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии.
Остановимся на использовании ОМНК для корректировки гетероскедастичности.
Как и раньше, будем предполагать, что среднее значение остаточных величин равно нулю.
А вот дисперсия их не остается неизменной для разных значений фактора, а пропорциональна величине 
, т.е.
,
где
– дисперсия ошибки при конкретном 
-м значении фактора;
– постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков;
– коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением величины фактора, что и обусловливает неоднородность дисперсии.
При этом предполагается, что неизвестна, а в отношении величин выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.
В общем виде для уравнения
при
модель примет вид:
.
В ней остаточные величины гетероскедастичны.
Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходе -го наблюдения, на 
.
Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной, т. е.
.
Иными словами, от регрессии 
по 
мы перейдем к регрессии на новых переменных:
и
.
Уравнение регрессии примет вид:
,
а исходные данные для данного уравнения будут иметь вид:
|
|
|
,
.
По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменные и взяты с весами 
.
Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешенному методу наименьших квадратов, для которого необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений вида
.
Соответственно получим следующую систему нормальных уравнений:
Если преобразованные переменные и взять в отклонениях от средних уровней, то коэффициент регрессии 
можно определить как
.
При обычном применении метода наименьших квадратов к уравнению линейной регрессии для переменных в отклонениях от средних уровней коэффициент регрессии определяется по формуле:
.
Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности коэффициент регрессии представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному МНК с весом 
.
Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для множественной регрессии.
Предположим, что рассматривается модель вида
,
для которой дисперсия остаточных величин оказалась пропорциональна 
. представляет собой коэффициент пропорциональности, принимающий различные значения для соответствующих значений факторов 
и 
.
Ввиду того, что
,
рассматриваемая модель примет вид
,
где ошибки гетероскедастичны.
Для того чтобы получить уравнение, где остатки 
гомоскедастичны, перейдем к новым преобразованным переменным, разделив все члены исходного уравнения на коэффициент пропорциональности 
.
Уравнение с преобразованными переменными составит
.
Это уравнение не содержит свободного члена.
Вместе с тем, найдя переменные в новом преобразованном виде и применяя обычный МНК к ним, получим иную спецификацию модели:
.
Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности .
|
|
|
В эконометрических исследованиях довольно часто выдвигается гипотеза, что остатки пропорциональны значениям фактора.
Так, если в уравнении
предположить, что
,
т.е.
и
,
то обобщенный МНК предполагает оценку параметров следующего трансформированного уравнения:
.
Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к тому, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных 
имеют при определении параметров регрессии относительно больший вес, чем с первоначальными переменными.
Вместе с тем, следует иметь в виду, что новые преобразованные переменные получают новое экономическое содержание и их регрессия имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным.
Пример.
Пусть
– издержки производства,
– объем продукции,
– основные производственные фонды,
– численность работников,
тогда уравнение
является моделью издержек производства с объемными факторами.
Предполагая, что пропорциональна квадрату численности работников , мы получим в качестве результативного признака затраты на одного работника 
, а в качестве факторов следующие показатели:
производительность труда 
и
фондовооруженность труда 
.
Соответственно трансформированная модель примет вид
,
где параметры 
, 
, 
численно не совпадают с аналогичными параметрами предыдущей модели.
Кроме этого, коэффициенты регрессии меняют экономическое содержание: из показателей силы связи, характеризующих среднее абсолютное изменение издержек производства с изменением абсолютной величины соответствующего фактора на единицу, они фиксируют при обобщенном МНК среднее изменение затрат на работника; с изменением производительности труда на единицу при неизменном уровне фовдовооруженности труда; и с изменением фондовооруженности труда на единицу при неизменном уровне производительности труда.
Если предположить, что в модели с первоначальными переменными дисперсия остатков пропорциональна квадрату объема продукции,
,
можно перейти к уравнению регрессии вида
.
В нем новые переменные:
– затраты на единицу (или на 1 руб. продукции),
– фондоемкость продукции,
|
|
|
– трудоемкость продукции.
Гипотеза о пропорциональности остатков величине фактора может иметь реальное основание: при обработке недостаточно однородной совокупности, включающей как крупные, так и мелкие предприятия, большим объемным значениям фактора может соответствовать большая дисперсия результативного признака и большая дисперсия остаточных величин.
При наличии одной объясняющей переменной гипотеза
трансформирует линейное уравнение
в уравнение
,
в котором параметры 
и поменялись местами, константа стала коэффициентом наклона линии регрессии, а коэффициент регрессии – свободным членом.
Пример.
Рассматривая зависимость сбережений от дохода , по первоначальным данным было получено уравнение регрессии
.
Применяя обобщенный МНК к данной модели в предположении, что ошибки пропорциональны доходу, было получено уравнение для преобразованных данных:
.
Коэффициент регрессии первого уравнения сравнивают со свободным членом второго уравнения, т.е. 0,1178 и 0,1026 – оценки параметра зависимости сбережений от дохода.
Переход к относительным величинам существенно снижает вариацию фактора и соответственно уменьшает дисперсию ошибки.
Он представляет собой наиболее простой случай учета гетероскедастичности в регрессионных моделях с помощью обобщенного МНК.
Процесс перехода к относительным величинам может быть осложнен выдвижением иных гипотез о пропорциональности ошибок относительно включенных в модель факторов.
Использование той или иной гипотезы предполагает специальные исследования остаточных величин для соответствующих регрессионных моделей.
Применение обобщенного МНК позволяет получить оценки параметров модели, обладающие меньшей дисперсией.
|
|
|
