Тема 2. 5. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)
При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (известный в английской терминологии как метод OLS – Ordinary Least Squares) заменять обобщенным методом, т.е. методом GLS (Generalized Least Squares). Обобщенный метод наименьших квадратов применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии. Остановимся на использовании ОМНК для корректировки гетероскедастичности. Как и раньше, будем предполагать, что среднее значение остаточных величин равно нулю. А вот дисперсия их не остается неизменной для разных значений фактора, а пропорциональна величине
где
При этом предполагается, что В общем виде для уравнения при модель примет вид:
В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходе Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной, т. е.
Иными словами, от регрессии и
Уравнение регрессии примет вид:
а исходные данные для данного уравнения будут иметь вид:
По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменные Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешенному методу наименьших квадратов, для которого необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений вида
Соответственно получим следующую систему нормальных уравнений:
Если преобразованные переменные
При обычном применении метода наименьших квадратов к уравнению линейной регрессии для переменных в отклонениях от средних уровней коэффициент регрессии
Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности коэффициент регрессии Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для множественной регрессии. Предположим, что рассматривается модель вида
для которой дисперсия остаточных величин оказалась пропорциональна Ввиду того, что
рассматриваемая модель примет вид
где ошибки гетероскедастичны. Для того чтобы получить уравнение, где остатки Уравнение с преобразованными переменными составит
Это уравнение не содержит свободного члена. Вместе с тем, найдя переменные в новом преобразованном виде и применяя обычный МНК к ним, получим иную спецификацию модели:
Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности
В эконометрических исследованиях довольно часто выдвигается гипотеза, что остатки Так, если в уравнении предположить, что
т.е. и
то обобщенный МНК предполагает оценку параметров следующего трансформированного уравнения:
Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к тому, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных Вместе с тем, следует иметь в виду, что новые преобразованные переменные получают новое экономическое содержание и их регрессия имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным. Пример. Пусть
тогда уравнение является моделью издержек производства с объемными факторами. Предполагая, что производительность труда и фондовооруженность труда Соответственно трансформированная модель примет вид
где параметры Кроме этого, коэффициенты регрессии меняют экономическое содержание: из показателей силы связи, характеризующих среднее абсолютное изменение издержек производства с изменением абсолютной величины соответствующего фактора на единицу, они фиксируют при обобщенном МНК среднее изменение затрат на работника; с изменением производительности труда на единицу при неизменном уровне фовдовооруженности труда; и с изменением фондовооруженности труда на единицу при неизменном уровне производительности труда. Если предположить, что в модели с первоначальными переменными дисперсия остатков пропорциональна квадрату объема продукции,
можно перейти к уравнению регрессии вида
В нем новые переменные:
Гипотеза о пропорциональности остатков величине фактора может иметь реальное основание: при обработке недостаточно однородной совокупности, включающей как крупные, так и мелкие предприятия, большим объемным значениям фактора может соответствовать большая дисперсия результативного признака и большая дисперсия остаточных величин. При наличии одной объясняющей переменной гипотеза трансформирует линейное уравнение в уравнение
в котором параметры Пример. Рассматривая зависимость сбережений
Применяя обобщенный МНК к данной модели в предположении, что ошибки пропорциональны доходу, было получено уравнение для преобразованных данных:
Коэффициент регрессии первого уравнения сравнивают со свободным членом второго уравнения, т.е. 0,1178 и 0,1026 – оценки параметра Переход к относительным величинам существенно снижает вариацию фактора и соответственно уменьшает дисперсию ошибки. Он представляет собой наиболее простой случай учета гетероскедастичности в регрессионных моделях с помощью обобщенного МНК. Процесс перехода к относительным величинам может быть осложнен выдвижением иных гипотез о пропорциональности ошибок относительно включенных в модель факторов. Использование той или иной гипотезы предполагает специальные исследования остаточных величин для соответствующих регрессионных моделей. Применение обобщенного МНК позволяет получить оценки параметров модели, обладающие меньшей дисперсией.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|