Тема 2. 3. Проверка существенности факторов и показатели качества регрессии
Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – показателя детерминации. Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат. Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции:
где
Границы изменения индекса множественной корреляции от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов. Величина индекса множественной корреляции должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции:
При правильном включении факторов в регрессионную модель величина индекса множественной корреляции будет существенно отличаться от индекса корреляции парной зависимости. Если же дополнительно включенные в уравнение множественной регрессии факторы третьестепенны, то индекс множественной корреляции может практически совпадать с индексом парной корреляции (различия в третьем, четвертом знаках). Отсюда ясно, что сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности включения в уравнение регрессии того или иного фактора. Расчет индекса множественной корреляции предполагает определение уравнения множественной регрессии и на его основе остаточной дисперсии:
Можно пользоваться следующей формулой индекса множественной детерминации:
При линейной зависимости признаков формула индекса множественной корреляции может быть представлена следующим выражением:
где
Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии получила название линейного коэффициента множественной корреляции, или, что то же самое, совокупного коэффициента корреляции. Возможно также при линейной зависимости определение совокупного коэффициента корреляции через матрицу парных коэффициентов корреляции:
где
– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции. Как видим, величина множественного коэффициента корреляции зависит не только от корреляции результата с каждым из факторов, но и от межфакторной корреляции. Рассмотренная формула позволяет определять совокупный коэффициент корреляции, не обращаясь при этом к уравнению множественной регрессии, а используя лишь парные коэффициенты корреляции. В рассмотренных показателях множественной корреляции (индекс и коэффициент) используется остаточная дисперсия, которая имеет систематическую ошибку в сторону преуменьшения, тем более значительную, чем больше параметров определяется в уравнении регрессии при заданном объеме наблюдений Если число параметров при Для того чтобы не допустить возможного преувеличения тесноты связи, используется скорректированный индекс (коэффициент) множественной корреляции. Скорректированный индекс множественной корреляции содержит поправку на число степеней свободы, а именно остаточная сумма квадратов
делится на число степеней свободы остаточной вариации
а общая сумма квадратов отклонений на число степеней свободы в целом по совокупности
Формула скорректированного индекса множественной детерминации имеет вид:
где
Поскольку
то величину скорректированного индекса детерминации можно представить в виде:
Чем больше величина Как было показано выше, ранжирование факторов, участвующих во множественной линейной регрессии, может быть проведено через стандартизованные коэффициенты регрессии ( Эта же цель может быть достигнута с помощью частных коэффициентов корреляции (для линейных связей). Кроме того, частные показатели корреляции широко используются при решении проблемы отбора факторов: целесообразность включения того или иного фактора в модель можно доказать величиной показателя частной корреляции. Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии. Показатели частной корреляции представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель. В общем виде при наличии коэффициент частной корреляции, измеряющий влияние на
где
При двух факторах формула примет вид:
Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается. Например, Соответственно коэффициенты парной корреляции называются коэффициентами нулевого порядка. Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно определить через коэффициенты частной корреляции более низких порядков по рекуррентной формуле:
При двух факторах данная формула примет вид:
Для уравнения регрессии с тремя факторами частные коэффициенты корреляции второго порядка определяются на основе частных коэффициентов корреляции первого порядка. Так, по уравнению возможно исчисление трех частных коэффициентов корреляции второго порядка:
каждый из которых определяется по рекуррентной формуле. Например, при
Рассчитанные по рекуррентной формуле частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до +1, а по формулам через множественные коэффициенты детерминации – от 0 до 1. Сравнение их друг с другом позволяет ранжировать факторы по тесноте их связи с результатом. Частные коэффициенты корреляции дают меру тесноты связи каждого фактора с результатом в чистом виде. Если из стандартизованного уравнения регрессии следует, что
т.е. no силе влияния на результат порядок факторов таков:
В эконометрике частные коэффициенты корреляции обычно не имеют самостоятельного значения. Их используют на стадии формирования модели. Так, строя многофакторную модель, на первом шаге определяется уравнение регрессии с полным набором факторов и рассчитывается матрица частных коэффициентов корреляции. На втором шаге отбирается фактор с наименьшей и несущественной по Исключив его из модели, строится новое уравнение регрессии. Процедура продолжается до тех пор, пока не окажется, что все частные коэффициенты корреляции существенно отличаются от нуля. Если исключен несущественный фактор, то множественные коэффициенты детерминации на двух смежных шагах построения регрессионной модели почти не отличаются друг от друга, Из приведенных выше формул частных коэффициентов корреляции видна связь этих показателей с совокупным коэффициентом корреляции.
Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго и более высокого порядка), можно определить совокупный коэффициент корреляции по формуле:
В частности, для двухфакторного уравнения формула принимает вид:
При полной зависимости результативного признака от исследуемых факторов коэффициент совокупного их влияния равен единице. Из единицы вычитается доля остаточной вариации результативного признака
обусловленная последовательно включенными в анализ факторами. В результате подкоренное выражение характеризует совокупное действие всех исследуемых факторов. Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью
где
Оценивается значимость не только уравнения в целом, но и фактора, дополнительно включенного в регрессионную модель. Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличивать долю объясненной вариации результативного признака. Кроме того, при наличии в модели нескольких факторов они могут вводиться в модель в разной последовательности. Ввиду корреляции между факторами значимость одного и того же фактора может быть разной в зависимости от последовательности его введения в модель. Мерой для оценки включения фактора в модель служит частный Частный В общем виде для фактора
где
Фактическое значение частного Если фактическое значение Если же фактическое значение
Для двухфакторного уравнения частные
С помощью частного Частный Зная величину
Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии по В этом случае, как и в парной регрессии, для каждого фактора используется формула:
где
Для уравнения множественной регрессии средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии может быть определена по следующей формуле:
где
Как видим, чтобы воспользоваться данной формулой, необходимы матрица межфакторной корреляции и расчет по ней соответствующих коэффициентов детерминации Так, для уравнения оценка значимости коэффициентов регрессии Взаимосвязь показателей частного коэффициента корреляции, частного Отсев факторов при построении уравнения регрессии методом исключения практически можно осуществлять не только по частным коэффициентам корреляции, исключая на каждом шаге фактор с наименьшим незначимым значением частного коэффициента корреляции, но и по величинам Частный Пример. Оценим качество уравнения, полученного ранее. Сначала найдем значения парных коэффициентов корреляции:
Значения парных коэффициентов корреляции указывают на достаточно тесную связь сменной добычи угля на одного рабочего В то же время межфакторная связь Теперь рассчитаем совокупный коэффициент корреляции Для этого сначала найдем определитель матрицы парных коэффициентов корреляции:
и определитель матрицы межфакторной корреляции:
Тогда коэффициент множественной корреляции по формуле:
Т.е. можно сказать, что 81,7% (коэффициент детерминации Примерно тот же результат (различия связаны с ошибками округлений) для коэффициента множественной регрессии получим, если воспользуемся формулами:
Скорректированный коэффициент множественной детерминации указывает на умеренную связь между результатом и признаками. Это связано с малым количеством наблюдений. Теперь найдем частные коэффициенты корреляции по формулам:
Т.е. можно сделать вывод, что фактор Оценим надежность уравнения регрессии в целом и показателя связи с помощью
Табличное значение
Так как
то уравнение признается статистически значимым. Оценим целесообразность включения фактора
Табличное значение частного
Так как
а
то включение фактора Уравнение регрессии, включающее только один значимый аргумент
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|