Тема 2. 4. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными остатками
При оценке параметров уравнения регрессии применяется метод наименьших квадратов (МНК). При этом делаются определенные предпосылки относительно случайной составляющей В модели случайная составляющая После того как произведена оценка параметров модели, рассчитывая разности фактических и теоретических значений результативного признака Поскольку они не являются реальными случайными остатками, их можно считать некоторой выборочной реализацией неизвестного остатка заданного уравнения, т.е. При изменении спецификации модели, добавлении в нее новых наблюдений выборочные оценки остатков Поэтому в задачу регрессионного анализа входит не только построение самой модели, но и исследование случайных отклонений При использовании критериев Фишера и Стьюдента делаются предположения относительно поведения остатков остатки представляют собой независимые случайные величины и их среднее значение равно 0; они имеют одинаковую (постоянную) дисперсию и подчиняются нормальному распределению. Статистические проверки параметров регрессии, показателей корреляции основаны на непроверяемых предпосылках распределения случайной составляющей Они носят лишь предварительный характер. После построения уравнения регрессии проводится проверка наличия у оценок Связано это с тем, что оценки параметров регрессии должны отвечать определенным критериям. Они должны быть несмещенными, состоятельными и эффективными.
Эти свойства оценок, полученных по МНК, имеют чрезвычайно важное практическое значение в использовании результатов регрессии и корреляции. Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание остатков равно нулю. Если оценки обладают свойством несмещенности, то их можно сравнивать по разным исследованиям. Оценки считаются эффективными, если они характеризуются наименьшей дисперсией. В практических исследованиях это означает возможность перехода от точечного оценивания к интервальному. Состоятельность оценок характеризует увеличение их точности с увеличением объема выборки. Большой практический интерес представляют те результаты регрессии, для которых доверительный интервал ожидаемого значения параметра регрессии Иными словами, вероятность получения оценки на заданном расстоянии от истинного значения параметра близка к единице. Указанные критерии оценок (несмещенность, состоятельность и эффективность) обязательно учитываются при разных способах оценивания. Метод наименьших квадратов строит оценки регрессии на основе минимизации суммы квадратов остатков. Поэтому очень важно исследовать поведение остаточных величин регрессии Условия, необходимые для получения несмещенных, состоятельных и эффективных оценок, представляют собой предпосылки МНК, соблюдение которых желательно для получения достоверных результатов регрессии. Исследования остатков 1) случайный характер остатков; 2) нулевая средняя величина остатков, не зависящая от 3) гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения 4) отсутствие автокорреляции остатков – значения остатков 5) остатки подчиняются нормальному распределению.
Если распределение случайных остатков Прежде всего, проверяется случайный характер остатков С этой целью стоится график зависимости остатков Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки
Рис. Зависимость случайных остатков
Возможны следующие случаи, если 1) остатки 2) остатки 3) остатки
А б
в Рис. Зависимость случайных остатков
В этих случаях необходимо либо применять другую функцию, либо вводить дополнительную информацию и заново строить уравнение регрессии до тех пор, пока остатки Вторая предпосылка МНК относительно нулевой средней величины остатков означает, что
Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных относительно включаемых переменных. Вместе с тем, несмещенность оценок коэффициентов регрессии, полученных МНК, зависит от независимости случайных остатков и величин С этой целью наряду с изложенным графиком зависимости остатков
Рис. Зависимость величины остатков от величины фактора
Если остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, то они независимы от значений Если же график показывает наличие зависимости Причины неадекватности могут быть разные. Возможно, что нарушена третья предпосылка МНК и дисперсия остатков не постоянна для каждого значения фактора Может быть неправильна спецификация модели и в нее необходимо ввести дополнительные члены от
Скопление точек в определенных участках значений фактора Предпосылка о нормальном распределении остатков позволяет проводить проверку параметров регрессии и корреляции с помощью Вместе с тем, оценки регрессии, найденные с применением МНК, обладают хорошими свойствами даже при отсутствии нормального распределения остатков, т.е. при нарушении пятой предпосылки МНК. Совершенно необходимым для получения по МНК состоятельных оценок параметров регрессии является соблюдение третьей и четвертой предпосылок. В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции (рис.).
А б в
Рис. Примеры гетероскедастичности.
На рис. изображено: а – дисперсия остатков растет по мере увеличения б – дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях переменной в – максимальная дисперсия остатков при малых значениях Наличие гомоскедастичности или гетероскедастичности можно видеть и по рассмотренному выше графику зависимости остатков Так, для рис. а зависимость остатков от
Рис. Гетероскедастичность: большая дисперсия
Соответственно для зависимости, изображенной на полях корреляции рис. б и в гетероскедастичность остатков представлена на рис.
Рис. Гетероскедастичность, соответствующая полю корреляции на рис. б.
Рис. Гетероскедастичность, соответствующая полю корреляции на рис. в.
Для множественной регрессии данный вид графиков является наиболее приемлемым визуальным способом изучения гомо- и гетероскедастичности. При построении регрессионных моделей чрезвычайно важно соблюдение четвертой предпосылки МНК – отсутствие автокорреляции остатков, т.е. значения остатков Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Коэффициент корреляции между
т.е. по обычной формуле линейного коэффициента корреляции. Если этот коэффициент окажется существенно отличным от нуля, то остатки автокоррелированы и функция плотности вероятности Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии. Особенно актуально соблюдение данной предпосылки МНК при построении регрессионных моделей по рядам динамики, где ввиду наличия тенденции последующие уровни динамического ряда, как правило, зависят от своих предыдущих уровней. При несоблюдении основных предпосылок МНК приходится корректировать модель, изменяя ее спецификацию, добавлять (исключать) некоторые факторы, преобразовывать исходные данные для того, чтобы получить оценки коэффициентов регрессии, которые обладают свойством несмещенности, имеют меньшее значение дисперсии остатков и обеспечивают в связи с этим более эффективную статистическую проверку значимости параметров регрессии.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|