 |
Тема 2. 6. Регрессионные модели с переменной структурой (фиктивные переменные)
|
|
|
|
До сих пор в качестве факторов рассматривались экономические переменные, принимающие количественные значения в некотором интервале.
Вместе с тем может оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровней.
Это могут быть разного рода атрибутивные признаки, такие, например, как профессия, пол, образование, климатические условия, принадлежность к определенному региону.
Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, им должны быть присвоены те или иные цифровые метки, т.е. качественные переменные преобразованы в количественные.
Такого вида сконструированные переменные в эконометрике принято называть фиктивными переменными.
Рассмотрим применение фиктивных переменных для функции спроса.
Предположим, что по группе лиц мужского и женского пола изучается линейная зависимость потребления кофе от цены.
В общем виде для совокупности обследуемых уравнение регрессии имеет вид:
,
где
– количество потребляемого кофе;
– цена.
Аналогичные уравнения могут быть найдены отдельно для лиц мужского пола:
и женского пола:
.
Различия в потреблении кофе проявятся в различии средних 
и 
.
Вместе с тем сила влияния на может быть одинаковой, т.е.
.
В этом случае возможно построение общего уравнения регрессии с включением в него фактора «пол» в виде фиктивной переменной.
Объединяя уравнения 
и 
и, вводя фиктивные переменные, можно прийти к следующему выражению:
,
где
и 
– фиктивные переменные, принимающие значения:
В общем уравнении регрессии зависимая переменная рассматривается как функция не только цены но и пола 
.
Переменная 
рассматривается как дихотомическая переменная, принимающая всего два значения: 1 и 0.
|
|
|
При этом когда 
, то 
, и наоборот.
Для лиц мужского пола, когда
и
,
объединенное уравнение регрессии составит:
,
а для лиц женского пола, когда
и
:
.
Иными словами, различия в потреблении для лиц мужского и женского пола вызваны различиями свободных членов уравнения регрессии:
.
Параметр 
является общим для всей совокупности лиц, как для мужчин, так и для женщин.
Однако при введении двух фиктивных переменных и в модель
применение МНК для оценивания параметров 
и 
приведет к вырожденной матрице исходных данных, а следовательно, и к невозможности получения их оценок.
Объясняется это тем, что при использовании МНК в данном уравнении появляется свободный член, т.е. уравнение примет вид
.
Предполагая при параметре 
независимую переменную, равную 1, имеем следующую матрицу исходных данных:
.
В рассматриваемой матрице существует линейная зависимость между первым, вторым и третьим столбцами: первый равен сумме второго и третьего столбцов.
Поэтому матрица исходных факторов вырождена.
Выходом из создавшегося затруднения может явиться переход к уравнениям
или
,
т.е. каждое уравнение включает только одну фиктивную переменную или .
Предположим, что определено уравнение
,
где принимает значения 1 для мужчин и 0 для женщин.
Теоретические значения размера потребления кофе для мужчин будут получены из уравнения
.
Для женщин соответствующие значения получим из уравнения
.
Сопоставляя эти результаты, видим, что различия в уровне потребления мужчин и женщин состоят в различии свободных членов данных уравнений: – для женщин и 
– для мужчин.
Теперь качественный фактор принимает только два состояния, которым соответствуют значения 1 и 0.
Если же число градаций качественного признака-фактора превышает два, то в модель вводится несколько фиктивных переменных, число которых должно быть меньше числа качественных градаций.
|
|
|
Только при соблюдении этого положения матрица исходных фиктивных переменных не будет линейно зависима и возможна оценка параметров модели.
Пример.
Проанализируем зависимость цены двухкомнатной квартиры от ее полезной площади.
При этом в модель могут быть введены фиктивные переменные, отражающие тип дома: «хрущевка», панельный, кирпичный.
При использовании трех категорий домов вводятся две фиктивные переменные: и .
Пусть переменная принимает значение 1 для панельного дома и 0 для всех остальных типов домов; переменная принимает значение 1 для кирпичных домов и 0 для остальных; тогда переменные и принимают значения 0 для домов типа «хрущевки».
Предположим, что уравнение регрессии с фиктивными переменными составило:
.
Частные уравнения регрессии для отдельных типов домов, свидетельствуя о наиболее высоких ценах квартир в панельных домах, будут иметь следующий вид:
«хрущевки» –
;
панельные –
;
кирпичные –
.
Параметры при фиктивных переменных и представляют собой разность между средним уровнем результативного признака для соответствующей группы и базовой группы.
В рассматриваемом примере за базу сравнения цены взяты дома «хрущевки», для которых
.
Параметр при , равный 2200, означает, что при одной и той же полезной площади квартиры цена ее в панельных домах в среднем на 2200 долл. США выше, чем в «хрущевках».
Соответственно параметр при показывает, что в кирпичных домах цена выше в среднем на 1600 долл. при неизменной величине полезной площади по сравнению с указанным типом домов.
В отдельных случаях может оказаться необходимым введение двух и более групп фиктивных переменных, т.е. двух и более качественных факторов, каждый из которых может иметь несколько градаций.
Например, при изучении потребления некоторого товара наряду с факторами, имеющими количественное выражение (цена, доход на одного члена семьи, цена на взаимозаменяемые товары и др.), учитываются и качественные факторы.
С их помощью оцениваются различия в потреблении отдельных социальных групп населения, дифференциация в потреблении по полу, национальному составу и др.
|
|
|
При построении такой модели из каждой группы фиктивных переменных следует исключить по одной переменной.
Так, если модель будет включать три социальные группы, три возрастные категории и ряд экономических переменных, то она примет вид:
,
где
– потребление;
– экономические (количественные) переменные.
До сих пор мы рассматривали фиктивные переменные как факторы, которые используются в регрессионной модели наряду с количественными переменными.
Вместе с тем возможна регрессия только на фиктивных переменных.
Например, изучается дифференциация заработной платы рабочих высокой квалификации по регионам страны.
Модель заработной платы может иметь вид:
,
где
– средняя заработная плата рабочих высокой квалификации по отдельным предприятиям;
………………………………………………………………………..
Поскольку последний район, указанный в модели, обозначен 
, то в исследование включено 
район.
Мы рассмотрели модели с фиктивными переменными, в которых последние выступают факторами.
Может возникнуть необходимость построить модель, в которой дихотомический признак, т.е. признак, который может принимать только два значения, играет роль результата.
Подобного вида модели применяются, например, при обработке данных социологических опросов.
В качестве зависимой переменной рассматриваются ответы на вопросы, данные в альтернативной форме: «да» или «нет».
Поэтому зависимая переменная имеет два значения: 1, когда имеет место ответ «да», и 0 – во всех остальных случаях.
Модель такой зависимой переменной имеет вид:
.
Модель является вероятностной линейной моделью.
В ней 
принимает значения 1 и 0, которым соответствуют вероятности 
и 
.
Поэтому при решении модели находят оценку условной вероятности события при фиксированных значениях .
Для оценки параметров линейно-вероятностной модели применяются методы Logit-, Probit- и Tobit-анализа.
Такого рода модели используют при работе с неколичественными переменными.
Как правило, это модели выбора из заданного набора альтернатив.
|
|
|
Зависимая переменная представлена дискретными значениями (набор альтернатив), объясняющие переменные 
– характеристики альтернатив (время, цена), 
– характеристики индивидов (возраст, доход, уровень образования).
Модель такого рода позволяет предсказать долю индивидов в генеральной совокупности, которые выбирают данную альтернативу.
Среди моделей с фиктивными переменными наибольшими прогностическими возможностями обладают модели, в которых зависимая переменная рассматривается как функция ряда экономических факторов 
и фиктивных переменных .
Последние обычно отражают различия в формировании результативного признака по отдельным группам единиц совокупности, т.е. в результате неоднородной структуры пространственного или временного характера.
|
|
|
