Табличный метод уточнения корня с отображением рядов данных на диаграмме

Алгоритм 3.1. Уточнение приближенного значения корня уравнения f(x)=0 табличным методом

1. По данным интервала [ a,b ], на котором существует единственный корень (см. п.2), вычислить ряд значений x: задать начальное значение ряда x=a и шаг по x, равный 0,1*(b-a). Для полученных значений ряда значений x вычислить ряд значений функции f(x) (рис. 3.1).

2. Отобразить ряды значений x и f(x) на точечной диаграмме (см. рис. 3.1). Выполнить форматирование оси x на диаграмме, установив в диалоговом окне Формат оси фиксированную цену основных и промежуточных делений с учетом новых (более узких границ) интервала на k -й итерации (k=1,2,…).

3. Исследовать значения функции f(x) на границах [ a1,b1 ] интервала значений x, заданных таблично, аналитическим методом, проверив выполнение необходимого условия существования корня с помощью логической функции ЕСЛИ() (см. Алгоритм 2.2). Отделить приближенное значение корня x^k на k -й итерации (k=1,2,…) ‑ уточнить корень.

4. Отделить приближенное значение корня x^k на k -й итерации на диаграмме. Сравнить значения x^k, полученные аналитическим и графическим методами.

5. Исследовать достижение заданной точности eps оценки корня x_к, на интервале [ a,b ], проверив логическое условие останова процесса уточнения корня

½ f(b1) ½<eps (23)

6.. Если условия выполняются (погрешность оценки не превышает заданную точность eps), то итерационный процесс уточнения корня x_к, функции f(x) на интервале [ a,b ] нужно закончить. За значение корня x_к принимается значение x^k=b1, полученное на последней итерации.

7. Если условия не выполняются (погрешность оценки превышает заданную точность eps), то итерационный процесс уточнения корня нужно продолжить, повторив пп.1-5 для интервала [ a1,b1 ]. По данным интервала [ a1,b1 ], на котором существует единственный корень (см. п.2), вычислить ряд значений x. Для этого в ячейках электронной таблицы нужно заменить начальное значение ряда x=a1 и шаг по x, равный 0,1*(b1-a1). В результате замены будет выполнен автоматически пересчет рядов значений x и функции f(x) и их отображение на точечной диаграмме также будет изменяться автоматически.

Рис. 3.1. Уточнение корня табличным методом на интервале [-3;-2,5]
с отображение рядов данных на диаграмме

Пример 3.1. Уточнение корня табличным методом

Следуя инструкциям Алгоритма 3.1, выполнить следующие действия.

1. По данным интервала [ -3;-2,5 ], на котором существует единственный корень (см. п.2), вычислить ряд значений x. В ячейках электронной таблицы F44 и F46 нужно задать начальное значение ряда x=-3 и шаг по x, равный 0,1*(-3-2,5)=0,05, соответственно (см. рис. 3.1). Выделить ячейку А43 и ввести формулу =F44 для копирования начального значения ряда. Выделить диапазон А44:А52 и ввести формулу =А43+$F$46 в ячейку А44 для вычисления ряда значений x по формуле арифметической прогрессии, которую скопировать на диапазон (<Ctrl+Enter>). Для полученных значений ряда значений x в диапазоне А43:А52 вычислить ряд значений функции f(x) (рис. 3.1). Выделить диапазон В43:В52 и в ячейку В43 ввести или выполнить команды Копировать и Вставить с использованием «Специальная вставка» формулы для вычисления значения функции ==$A$2*A43^3+$B$2*A43^2+$C$2*A43+$D$2 (см. Пример 2.2). Скопировать формулу на диапазон В43:В52 (<Ctrl+Enter>).

2. Отобразить ряды значений x и f(x) на точечной диаграмме (см. рис. 3.1). Выделить диапазон А43:В52, содержащий значения базовых рядов «Ряд Х» и «Ряд f(x)» для отображения на диаграмме. Выбрать на ленте вкладку Вставить, далее в разделе Диаграммы выбрать тип диаграммы ‑ щелкнуть кнопку Точечная. В открывшемся меню выбрать подтип Точечной диаграммы – Точечна я с гладкими краями. Выполнить форматирование оси Oxна диаграмме. В контекстном меню выбрать команду Формат оси. В диалоговом окне Формат оси на вкладке Параметры оси, которая открывается по умолчанию,установить значения в окнах фиксированная цена основных делений и фиксированная цена промежуточных делений значения для первой итерации 0,05 и 0,01, соответственно (см. Пример 2.4, рис. 2.5, 2,6).

3. Исследовать значения функции f(x) на границах [ a1,b1 ] интервала значений x, заданных таблично, аналитическим методом, проверив выполнение необходимого условия существования корня. Выделить диапазон С44:С52 и в ячейку С44 ввести формулу

=ЕСЛИ(В43*В44<0; “Корень существует”;”Нет”),

которую размножить на диапазон (<Ctrl>+<Enter>). Корень отделен на интервале [ -2,95;-2,9 ].

4. Приближенное значение корня x^k на 1-й итерации, отделенное на диаграмме, соответствует значению, полученному аналитическим методом (см. рис. 3.1).

5. Исследовать достижение заданной точности eps=0,00001, значение которой задано в ячейке Е48, оценки корня x_к, на интервале [ -3,-2,5 ], проверив логические условия останова процесса уточнения корня (23). Выделить диапазон D43:D52 и в ячейку D43 ввести формулу

=ЕСЛИ(ABS(В43)<E48; “Точность достигнута”;”Нет”),

которую размножить на диапазон (<Ctrl>+<Enter>). Корень, который отделен на интервале [ -2,95;-2,9 ], не удовлетворяет требованиям заданной точности. Условие (23) не выполняется (погрешность оценки превышает заданную точность eps) и итерационный процесс уточнения корня нужно продолжить, повторив пп.1-5 для интервала
[ -2,95;-2,9 ]. Для этого в ячейках электронной таблицы Е44 и Е46 нужно ввести новое начальное значение интервала (-2,95) и шага по x, равного 0,001, соответственно. В результате замены будет выполнен автоматически пересчет рядов значений x и функции f(x) и их отображение на точечной диаграмме также будет изменяться автоматически.

6. Если условия выполняются (погрешность оценки не превышает заданную точность eps), то итерационный процесс уточнения корня x_к, функции f(x) на интервале [ -3;-2,5 ] нужно закончить. За значение корня x_к принимается значение -2,9122, полученное на последней итерации (рис. 3.2).

Рис. 3.4. Достижение заданной точности уточнения корня табличным методом.