Основные процедуры голосования

 

Мы рассмотрим вопросы принятия решений с помощью некоторых распространённых на практике процедур голосования, а также некоторые возникающие при этом проблемы.

Голосование содержит следующие элементы:

1) формируется набор кандидатов (кандидатов на выборную должность, технических проектов, произведений искусства, альтернативных законопроектов и т.п.) в отношении которых должно быть принято решение;

2) каждый из участников голосования (избирателей) вырабатывает свое мнение об этих кандидатах и отражает его в избирательном бюллетене в соответствии с инструкцией;

3) в соответствии с некоторой формальной процедурой по этой информации, поступившей от избирателей, определяется коллективное решение.

Различные процедуры голосования различаются тем, какой смысл вкладывается в каждый из этих трех пунктов.

При становлении демократии элементы грамотности в теории голосовании, по-видимому, нужны всем сознательным членам общества.

Будем предполагать, что конечное число избирателей должны избрать одного кандидата из конечного множества кандидатов.

Предположим, что индивидуальные мнения избирателей не допускают случаев безразличия.

Правило голосования представляет собой систематическое решение, опирающееся на индивидуальные мнения избирателей.

Правило голосования выбирает кандидата на основе сообщенных избирателями предпочтений относительно кандидатов и только на основе этих предпочтений.

Предпочтения избирателей будем представлять в ивде таблицы:

избирательные группы	I	II	...
количество избирателей в группе	N1	N2	...
Порядок предпочтения кандидатов избирателями	a	d	...
b	c	...
c	a	...
...	...	...

Порядок кандидатов в столбце определенной группы соответствует рейтингу в соответствующей группе избирателей. Например, в первой избирательной группе кандидат предпочтительнее кандидата , а кандидат , в свою очередь, предпочтительнее кандидата . Это можно записать так: Во второй избирательной группе порядок можно записать так:

Такую таблицу также называют «профилем голосования».

Если кандидата два, то обычное правило голосования большинством голосов является наиболее справедливым.

Рассмотрим голосование с тремя и более кандидатами. Какое правило голосования является естественным продолжением голосования по принципу большинства?

Наиболее популярным правилом голосования при числе кандидатов большем двух является правило относительного большинства.

Правило относительного большинства. Каждый избиратель отдает свой голос наиболее предпочтительному для себя кандидату ‑ оставляет одно имя в бюллетене, остальные вычеркивает. Избирается кандидат, получивший наибольшее число голосов.

Пример 1. Четыре кандидата выбираются в четырех избирательных группах, где количество избирателей 3, 5, 7 и 6 соответственно:

I	II	III	IV
a	a	b	c
d	c	d	d
c	d	c	b
b	b	a	a

По правилу относительного большинства набирает 8 голосов, набирает 7 голосов, набирает 6 голосов, набирает 0 голосов, следовательно, победителем является кандидат .

Но насколько хорош кандидат ? 13 избирателей против 8 считают, что , также 13 избирателей против 8 считают, что и еще 13 избирателей против 8 считают, что . То есть, для большинства избирателей кандидат является худшим из всех кандидатов.

Пример 2. В пяти избирательных группах, с количеством избирателей соответственно 9, 7, 6, 2 и 4 выбирают одного из четырех кандидатов :

I	II	III	IV	V
a	b	c	c	d
d	d	b	a	c
b	c	d	b	b
c	a	a	d	a

По правилу относительного большинства набирает 9 голосов, набирает 7 голосов, набирает 8 голосов, набирает 4 голосa, следовательно, победителем является тоже кандидат .

Проанализируем и здесь ситуацию с победителем. 17 избирателей из 28 считают, что , 19 избирателей считают, что и еще 17 избирателей считают, что . Кроме того, 17 избирателей из 28 поставили кандидата на последнее место, т.е. абсолютное большинство считает, что кандидат ‑ наихудший.

 

Что мы видим? Формально правило относительного большинства учитывает волю большинства. Однако, это правило может противоречить мнению большинства, т.е. приводить к избранию кандидата, который при парном сравнении проигрывает любому другому кандидату.

Заметим, что по данному правилу проходили выборы первого президента в России.

Правило относительного большинства с выбыванием. В первом туре каждый избиратель отдаёт свой голос наиболее предпочтительному для себя кандидату (оставляет одно имя в бюллетене, остальных вычеркивает). Если кандидат набирает строгое большинство голосов, то он избирается. В противном случае во втором туре проводится голосование по правилу большинства с двумя кандидатами, набравшими наибольшее количество голосов в первом туре.

Рассмотрим результаты выборов при данной обработке мнения избирателей, приведенных в примере 1.

В первом туре кандидат набирает 8 голосов, набирает 7 голосов, набирает 6 голосов, набирает 0 голосов. Максимальное количество голосов у кандидата , но это количество не является строгим большинством (8<11) следовательно проводится второй тур. Во втором туре сравниваются кандидаты и . 13 избирателей против 8 считают, что , следовательно, победителем является кандидат .

Вроде все правильно и полностью соответствует процедуре. А что с кандидатами и , которые выбыли на первом туре? 14 против 7 считают, что , и ровно столько же избирателей считают, что . Получается, что оба кандидата, которые выбыли в первом туре, были в два раза лучше победителя!

Рассмотрим теперь результаты выборов в примере 2 по процедуре относительного большинства с выбыванием.

В первом туре кандидат набирает 9 голосов, набирает 7 голосов, набирает 8 голосов, набирает 4 голосa. Максимальное количество голосов у кандидата , но это количество не является строгим большинством (9<15) следовательно проводится второй тур. Во втором туре сравниваются кандидаты и . 19 избирателей против 9 считают, что , следовательно, победителем является кандидат .

Здесь тоже все законно. Но в первом туре выбыли кандидаты и и при этом 16 избирателей из 28 считают, что , и 20 избирателей из 29 считают, что . Получается, что и этот победитель далеко не лучший.

 

Данная система широко использовалась на выборах на Украине.

 

Видно, что партии, не пользующиеся поддержкой большинства избирателей, но выдвинувшие единого кандидата, могут одержать победу на выборах по правилу относительного большинства, если партии пользующиеся поддержкой большинства избирателей не смогли договориться и выдвинуть единого кандидата (или если в числе их кандидатов находился троянский конь).

В то же время правило относительного большинства с выбыванием может сыграть объединительную роль и привести к победе представителя близких по взглядам партий, которые не смогли договорится о выдвижении единого кандидата (в данном случае кандидата c).

Голосование с последовательным исключением. Сначала устанавливается порядок сравнения кандидатов, затем по правилу большинства кандидаты последовательно сравниваются попарно. Если кандидатов , то имеем туров голосования. В первом туре сравниваются два первых кандидата из цепочки сравнения, победитель первого тура во втором туре сравнивется с третьим кандидатом в цепочке и так далее. Победитель ()-го тура является победителем по данной процедуре. Это правило имеет еще одно название – «олимпийская система»

Определим победителя голосования по данной схеме для примера 2.

Пусть порядок сравнения будет такой: . В первом туре

На первом туре 17 из 28 избирателей считают и, следовательно, кандидат выходит во второй тур. Во втором туре 16 из 28 избирателей считают, что , значит, выходит в третий тур. В последнем туре 15 из 28 избирателей считают, что и, следовательно, избранным по данной системе голосования оказывается кандидат .

 

Таким образом, при одном и том же мнении избирателей о кандидатах с помощью различных систем голосования могут быть избраны различные кандиаты.

Из примеров видно, что интерес к процедурам голосования как к способу принятия коллективного решения является актуальным.

В античные времена, в основном, обсуждались философские, мировоззренческие вопросы, связанные с голосованием.

Первая попытка критического анализа процедур голосования была предпринята лишь в конце XYIII века во Франции. В эти годы вопрос о том, как надо принимать коллективные решения (например, на заседаниях Конвента) приобрел необычайную остроту. Сомнения относительно метода "решает большинство голосов" возникли не только у законодателей после того, как вопрос о казни Людовика XYI был принят Конвентом большинством в 9 голосов (в то время в составе Конвента было 783 депутата, соответственно мнения «за» и «против» казни распределились почти поровну) и 21 января 1793 года казнь привели в исполнение.

В Парижской Академии Наук началась активная дискуссия по вопросам организации демократических выборов, включая избрание новых членов Академии. Именно два академика Парижской АН того времени по праву считаются основоположниками теории голосования.

Жан Шарль де Борда (4.5.1733 ‑ 19.2.1799) ‑ физик, геодезист и математик, член Парижской АН. Родился в Даксе (департамент Ланда). Служил офицером сначала в армии, а затем во флоте. Математические работы Борда относятся к дифференциальным уравнениям и сопротивлению жидкостей. Первая работа по математике появилась в 20 лет. Его работы по сопротивлению жидкостей положили основание теории воздухоплавания. Борда входил в Комиссию Лапласа по установлению единообразной системы мер и весов. Во Франции существует общество имени Борда и в память о нем на его родине установлен памятник.

Мари Жан Антуан Никола де Корита, маркиз де Кондорсе (17.9.1743 -- 29.3.1794) -- философ-просветитель, математик, экономист, социолог, политический деятель. Родился в Рибмоне. Был в дружеских отношениях с Даламбером и Волтером. Его работы посвящены дифференциальным уравнениям с запаздыванием, теории вероятности. Был избран в 26 лет членом АН и в 1777г. получил пожизненное звание академика - секретаря. Кондорсе приветствовал Великую французскую революцию. В 1791 году он был избран членом Законодательного собрания. Учредительным собранием Франции Кондорсе был назначен главным редактором Конституции. В её проект вошла процедура проведения конституционных выборов, разработанная Кондорсе. Проект Конституции был представлен Национальному Конвенту Франции в феврале 1793г. Однако эта процедура конституционных выборов во Франции не использовалась. В 1791г. во время выборов в Законодательное собрание вышла брошюра Марата "Современные шарлатаны", в которой Марат обличал АН как оплот старого режима, преследуя, в частности, цель дискредитировать Лавуазье, Кондорсе и других членов Академии. В октябре 1793г. Кондорсе вместе с другими депутатами - жирондистами был внесен в список приговоренных к казни. Кондорсе удалось скрыться в доме вдовы скульптора Верне. В 1776г. Кондорсе был избран членом Петербургской АН, но по велению Екатерины II его исключили в 1792г. Жизнь Кондорсе кончилась трагически. Он был арестован 26 марта 1794 г. и умер в тюрьме "при невыясненных обстоятельствах" 29 марта. Считают, что он принял яд, желая избежать публичной казни.

Теория голосования как наука имеет дату рождения -- 16 июня 1770г. В этот день Ж.-Ш. Борда на заседании Парижской АН сделал доклад "О способе проведения выборов", в котором, обсуждая избрание членов АН, критикует традиционный способ по большинству голосов. Борда предлагает свою процедуру голосования, считая, что от избирателей надо получать больше информации об их отношении к кандидатам, внесенным в избирательный бюллетень.

Правило Борда. Каждый избиратель объявляет свои предпочтения, упорядочивая кандидатов от лучшего к худшему (безразличие запреща-ется). Кандидат не получает баллов за последнее место, получает один балл от каждого кандидата за предпоследнее и так далее, получает баллов за первое место. Побеждает кандидат с наибольшей суммой баллов.

Несмотря на то, что в Парижскую АН входили такие ученые, как Монж, Фурье, Лавуазье, Лаплас, Даламбер, Кондорсе, Лагранж и др., доклад Борда не привлек внимание кого - либо из ученых (кроме Кондорсе) и вопрос о процедуре проведения выборов в АН не возникал на протяжении 14 лет.

Кондорсе решил математическими методами синтезировать процедуру голосования в некотором смысле "самую естественную". Первые попытки приводили Кондорсе к процедуре Борда. Исследователи отмечают сложные, конкурентные взаимоотношения между Борда и Кондорсе. С учетом этого и пониманием дефектов процедуры Борда привели Кондорсе к решению не публиковать полученные результаты. Дальнейшие исследования привели Кондорсе к разработке новой процедуры голосования, основанной на принципе попарных сравнений. 17 июля 1784 года на заседании Парижской АН была представлена работа Кондорсе "Эссе по применению вероятностного анализа принятия решений по большинству голосов". В этой работе Кондорсе впервые вводит представление о попарных сравнениях как основе теории и метода построения процедур голосования.

Процедура Кондорсе. Для заданной таблицы результатов голосования (таблицы предпочтений) победителем по Кондорсе называется кандидат, который побеждает любого другого кандидата при парном сравнении по правилу большинства.

Если парные сравнения образуют цикл, то победителя по Кондорсе нет, и мы так называемый парадоксом Кондорсе. Политологи считали его редким явлением. Однако, результаты математических исследований, приведенные в следующей таблице, показывают, что это не так.

Число кандидатов	Число избирателей
	0.050	0.069	0.075	0.078	0.080	0.088
	0.111	0.139	0.150	0.156	0.160	0.176
	0.160	0.200	0.215	0.230	0.251	0.251
	0.202	0.255	0.258	0.284	0.294	0.315
	0.239	0.299	0.305	0.342	0.343	0.369

На следующем заседании АН 21 июля 1784г. Борда вновь докладывает свою работу. Вскоре АН приняла предложенную им процедуру для избрания своих членов. Процедура Борда применялась АН для этих целей до 1800г., когда она подверглась резкой критике со стороны нового академика -- Наполеона Бонопарта – он посчитал ее слишком сложной. Парижская АН вернулась к старой системе выборов "по большинству голосов".

Система голосования Кондорсе использовалась в Женеве в течение года при выборах в Национальную ассамблею. В 1794г. была принята новая процедура голосования, предложенная депутатом Лиюлье, который подробно проанализировал и подверг критике процедуру Кондорсе. Однако, эта процедура также была отменена в 1798г. после захвата Женевы Наполеоном.

Работы Борда и Кондорсе оказали влияние на разрабатывавшуюся в то время Конституцию США.

 

Определим победителя по Борда для результатов предпочтений, содержащихся в примере 2. В выборах участвует m=4 кандидата. Кандидат не получает баллов за 4-е место, за 3-е место получает 1 балл, за 2-е место -- 2 балла, за 1-е место -- 3 балла. Следовательно, кандидат получает балл, кандидат получает баллов, кандидат получает баллов, кандидат получает баллов.

Таким образом, победителем по Борда является кандидат .

Победителем по Кондерсе является кандидат , который побеждает кандидата со счетом 17: 11, кандидата со счетом 16:12, кандидата со счетом 15:13.

 

В XIX веке шел процесс эмпирического поиска новых процедур голосования, которые не привели к появлению "абсолютно приемлемой" процедуры голосования. В конце XIX века благодаря работам итальянского математика В.Парето была понята естественность возникновения многокритериальной ситуации при оценке качества процедур голосования.

Рассмотрим некоторые из этих новых процедур голосования и аксиом.

Естественным обобщением процедуры Борда является

Правило голосование с подсчетом очков. При кандидатах фиксируем неубывающую последовательность чисел

, причем

Избиратели упорядочивают кандидатов, причем очков даётся за последнее место, ‑ за предпоследнее и т.д. Избирается кандидат с максимальной суммой очков.

Данная процедура достаточно широко используется на практике. Покажем, что результаты голосовани существенно зависят от выбора чисел . Так, по результатам предпочтений в примере 2 по процедуре Борда (т.е. при побеждает кандидат ; при побеждает кандидат ; при побеждает кандидат .

Если то данная процедура совпадает с процедурой голосования относительного большинства.

 

Приведем два наиболее естественные обобщения процедуры Кондорсе.

Правило Копленда. Сравним кандидата с любым другим кандидатом . Начислим ему , если для большинства , , если для большинства , при равенстве в оценке кандидатов. Оценкой Копленда для кaндидата назовем сумму . Избирается кандидат с наивысшей оценкой Копленда.

Правило Симпсона. Рассмотрим кандидата и любого другого кандидата . Обозначим через число избирателей, для которых . Оценкой Симпсона для кaндидата назовем минимальное из чисел , т.е. . Избирается кандидат, с наивысшей оценкой Симпсона.

Победитель по Кондорсе получает наивысшую оценку Копленда , а также оценку Симпсона выше n/2.

 

С середины XX века возник новый всплеск интереса к проблемам голосования.

В 1973 году Фишберн поставил точку в решении вопроса о различии процедуры Борда и процедуры Кондорсе.

Теорема Фишберна. Существуют профили голосования такие, что победитель по Кондорсе не может быть избран ни при каком методе подсчета очков.

Доказательство. Рассмотрим профиль голосования в четырех группах:

 

	I	II	III	IV
	c	a	b	b
	a	b	a	c
	b	c	c	a

Запишем количество балов, которые наберет каждый из кандидатов:

Оценим разность баллов кандидата и кандидата : ,

так как , и , то есть .

Таким образом, получаем, что при любом наборе . Следовательно, процедуры Кондорсе и Борда принципиально различны. ▄

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: