Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Краткие теоретические сведения

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

1. Перечень основных глобальных характеристик числовой функции:

- ООФ и ОЗФ;

- нули и промежутки знакопостоянства функции;

- четность, нечетность функции;

- периодичность;

- промежутки монотонности функции;

- локальные экстремумы функции;

- наибольшее и наименьшее значение функции (глобальные экстремумы);

- ограниченность функции.

2. Нули и промежутки знакопостоянства функции :

- множество нулей функции: ;

- промежутки знакоположительности функции: ;

- промежутки знакоотрицательности функции: .

3. Четность, нечетность функции :

Функция называется четной, если выполняются два условия:

1) её ООФ симметрична относительно точки x =0,

2) f (- x) = f (x) при .

График четной функции имеет осевую симметрию относительно оси функции.

Функция называется нечетной, если выполняются два условия:

1) её ООФ симметрична относительно точки x =0,

2) f (- x) = - f (x) при .

График нечетной функции имеет центральную симметрию относительно начала

координат.

4. Периодичность функции:

Функция называется периодической,если существует число T >0, такое что выполняется равенство при ООФ.

Наименьшее из чисел T называется наименьшим периодом; любой промежуток длины T называется основным промежутком для периодической функции.

5. Промежутки монотонности функции:

Интервал называется промежутком монотонности функции , если на этом промежутке функция только монотонно возрастает или только монотонно убывает .

Краткие определения монотонно возрастающей или монотонно убывающей функции:

при верно ;

при верно .

6. Локальные экстремумы функции:

Локальные экстремумы функции - это есть локальные минимумы функции и локальные максимумы функции .

Локальный максимум функции - это значение функции в точке максимума:

, - точка локального максимума;

локальный минимум функции - это значение функции в точке минимума:

, - точка локального минимума.

Точка максимума функции - это точка ООФ, для которой можно указать окрестность , такую, что верно неравенство при ;

точка минимума функции - это точка ООФ, для которой можно указать окрестность , такую, что верно неравенство при .

7. Наибольшее и наименьшее значения функции:

Наибольшим и наименьшимзначениями функции называются экстремумы множества её значений:

8. Ограниченность функции:

Функция называется ограниченной, если ограничено множество Y её значений; при этом точные грани функции определяются как точные грани множества ее значений:

9. Простейшие преобразования графика функции :

1) - сдвиг по оси аргумента на a единиц;

2) - сдвиг по оси функции на A единиц;

3) - сжатие по оси аргумента в a раз;

4) - растяжение по оси функции в A раз;

5) - зеркальное отражение относительно оси функции (изменение направления на оси аргумента);

6) - зеркальное отражение относительно оси аргумента (изменение направления на оси функции);

7) - функция всегда четная, график , остается на месте и симметрично относительно оси Oy отражается на ;

8) - функция принимает только неотрицательные значения; части графика , на которой , остаются на месте; части графика , на которых , отражаются симметрично относительно оси Ox.

10. Образ и прообраз множества при отображении заданной функцией:

Если задана функция и выделено множество , то множество

называется образом множества E при отображении функцией . При этом множество E называется прообразом множества G при том же отображении .

Аудиторные задания

Задача 1

Для функции найдите множество нулей , множествознакоположительности

и множество знакоотрицательности :

1) 2) ; 3) .

Ответы: 1)

2) ;

3) .

Задача 2

Функцию исследуйте на чётность:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

Ответы: 1) четная; 2) ни четная, ни нечетная; 3) нечетна; 4) ни четная, ни нечетная;

5) нечетная; 6) четная; 7) четная; 8) ни четная, ни нечетная; 9) ни четная, ни

нечетная.

Задача 3

Постройте график заданной функции y = f (x) и опишите её глобальные характеристики; найдите множество , которое является образом заданного множества E при отображении y = f (x), и укажите, является ли отображение биекцией: