Методы получения математических моделей

Методы получения математических моделей подразделяются на теоретические и экспериментальные.

Теоретический метод заключается в аналитическом исследова­нии физической сущности процесса с использованием общих законов физики, или процессов с использованием уравнений материального и энергетического баланса.

Применение чисто теоретического метода представляет боль­шую трудность вследствие сложности явлений, происходящих в про­цессах, или недостаточной степени изученности их.

Экспериментальный метод математического описания заклю­чается в обработке экспериментальных данных, полученных непо­средственно на действующих объектах производства, или на полу­промышленной лабораторной машине, или физической модели про­цесса — стенде.

Наиболее эффективным методом получения математической модели является сочетание теоретического и экспериментальных ме­тодов. При этом на долю теоретического метода приходится анализ в основном структурных свойств объекта и продуктов и получение общего вида уравнений, а на долю экспериментального — количе­ственный анализ и проверка теоретических выводов.

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Предметом математического программирования является разработка методов отыскания экстремального – максимального или минимального – значения функции нескольких переменных при конечном числе дополнительных ограничений, наложенных на эти переменные.

В общем виде математическая постановка задачи математического программирования (ЗПМ) такова: среди всех решений системы ограничений (2)

Найти то или те, которые доставляют максимум или минимум функции (1).

 

f(x₁,x₂,...,x_n) → max (min), (1).

g_i(x₁,x₂,...,x_n)<= b_i(>=b_i), (2)

 

где f и g_i - заданные функции, а b_i – заданные действительные числа, i = 1…m.

В зависимости от свойств функций f и g_i математическое программирование можно рассматривать как ряд самостоятельных дисциплин, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач.

Если все функции f и g_i линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования (ЗЛП). Для решения ЗЛП разработан целый ряд эффективных методов, алгоритмов и программ.

ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗЛП

Математическая модель

В настоящее время в литературе насчитывается несколько де-
сятков определений понятия модель. Мы под моделью будем понимать условный образ какого-либо объекта. приближенно воссоздающий этот объект с помощью некоторого языка. Математические модели относятся к классу идеальных знаковых моделей и могут создаваться из любых математических объектов: чисел. функций, уравнений, графиков, графов и т.д., то есть представляют объект в абстрактном виде с помощью математических соотношений.

В математических моделях объектом является некий процесс (например, использование ресурсов, транспортные перевозки и т.п.). М атематическая модель — математическое описание исследуемого процесса или объекта. Принято выделять т ри основных этапа математического моделирования. Первый этап — постановка задачи-
выбор цели и задачи исследования. качественное описание объекта;
второй этап — построение математической модели, выбор или разработка методов исследования, выбор соответствующего пакета прикладных программ или написание данной программы для компьютера,подготовка исходной информации. проверка пригодности построенной модели; т ретий этап — проведение численных экспериментов, обработка и анализ полученных, решений. интерпретация результатов, отбор наиболее оптимальных вариантов.

Примеры ЗЛП

Задача 1 — об использовании ресурсов. Из сырья двух видов:
S₁ и S₂, запасы которого ограничены и составляют соответственно
b₁ и b₂, единиц. изготавливается продукция трех видов: Р₁, Р₂ и
Р₃. Известно количество единиц сырья каждого вида, необходимое для производства единицы каждого вида продукции. Введем обозначение a_ij –количества единиц i – го вида сырья, необходимое для производства единицы продукции p_j, где i = 1, 2; j = 1, 2, 3. известен доход от реализации единицы каждого вида продукции – c_j j = 1, 2, 3.

Требуется составить такой план производства продукции, чтобы предприятие получило от реализации всей продукции наибольший суммарный доход. Составить математическую модель задачи.

Полезно для понимания смысла задачи поместить данные в таблицу (табл.1).

 

 

Таблица 1

Вид ресурса	Число единиц ресурса, затрачиваемых на изготовление единицы продукции	Запас ресурсов
P1	P2	P3
S1	a11	a12	a13	b1
S2	a21	a22	a23	b2
Прибыль от единицы	c1	c2	c3

 

Решение.

1. Выберем переменные. Пусть x_j -число единиц продукции вида P_j, запланированное к производству, j = 1, 2, 3.

2. Очевидно, x_j >=0. (1)

3. Цель – получение наибольшей суммарной прибыли. Суммарная прибыль f составит сумму c₁x₁ денежных единиц от реализации запланированной продукции P₁ , c₂x₂ –от продукции P₂, c₃x₃ – от продукции P₃, т.е.

f= c₁x₁+c₂x₂+c₃x₃ → max… (2)

4. Для изготовления запланированного объема продукции потребуется (a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃) единиц ресурса S₁ для S₂ – аналогично. Так как потребление ресурсов не должно превышать их запасов, соответственно b₁ и b₂, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:

(3)

Постановка математической задачи: среди всех неотрицательных решений системы неравенств (3) найти то или те, при которых функция (2) принимает максимальное значение.

Так как функция (2) линейная, асистема (3) содержит только линейные неравенства, то задача (1) – (3) является задачей линейного программарования.

Задача 2. Транспортная задача (ТЗ) по критерию стоимости.

Пусть имеются два пункта отправления А1 и А2, в которых сосредоточено соответственно а1,а2 единиц однородного груза. Весь этот груз следует перевезти в три пункта назначения: В1, В2, В3. Причем потребности пунктов назначения известны и составляют соответственно b₁,b₂,b₃ единиц этого груза. Стоимость перевозки единицы груза из каждого пункта отправления А_i в каждый пункт назначения B_j известно; обозначим её c_ij - денежных единиц.

Замечание. В задаче предполагается, что суммарный запас груза в пунктах отправления равен суммарным потребностям пунктов, т.е. выполняется равенство:

 

а₁+а₂=b₁+b₂+b₃ (4)

 

Решение.

1. Выберем переменные. Пусть x_ij - количество единиц груза, предназначенного для перевозки из пункта отправления А1 в пункт назначения В_j; i = 1,2; j = 1,2,3.

2. Очевидно,

x_ij>=0, i=1,2, j= 1,2,3. (5)

Таблица 2

Пункты отправления	Стоимость перевозки единицы груза в пункты назначения	Запасы груза
	B1	B2	B3
A1	c11	c12	c13	a1
A2	c21	c22	c23	a2
Потребности в грузе	b1	b2	b3	a1= b1

3. Цель – минимальная суммарная стоимость перевозок. Суммарная стоимость перевозок f складывается из стоимостей перевозок всех запланированных объемов. Так, если из пункта А1 в пункт В1 следует перевезти х₁₁ единиц груза, причем стоимость перевозки единицы груза с₁₁ денежных единиц, то оказанная перевозка оценивается в с₁₁х₁₁ денежных единиц. Суммируя, получаем:

f=c₁₁x₁₁+c₁₂x₁₂+c₁₃x₁₃+c₂₁x₂₁+c₂₂x₂₂+c₂₃x₂₃. (6)

4. Поскольку весь груз следует перевести, то получаем систему уравнений:

 

 

х₁₁+х₁₂+х₁₃ = а₁

х₂₁+х₂₂+х₂₃ = а₂. (7)

 

Систему уравнений (7) называют ограничениями по запасам.

Поскольку все потребности следует удовлетворить, то получаем систему уравнений:

 

х₁₁+х₂₁ = b₁

х₁₂+х₂₂ = b₂ (8)

х₁₃+х₂₃ = b₃

 

 

Систему уравнений (8) называют ограничениями по потребностям.

Постановка математической задачи: среди всех неотрицательных решений системы уравнений (7), (8) найти то или те, при которых функция (6) достигает минимума.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: