 |
Законы распределения, используемые в теории надёжности
|
|
|
|
Лекция 3
Законы распределения, используемые в теории надёжности
В теории надежности наибольшее распространение получили следующие законы распределения случайных величин f(t):
• для дискретных случайных величин:
- закон Пуассона;
• для непрерывных случайных величин: - экспоненциальный закон;
- нормальный закон;
- гамма-распределение и др.
3. 1. Закон распределения Пуассона
Закон распределения Пуассона описывает закономерность появления случайных отказов в сложных системах. Этот закон нашёл широкое применение при определении вероятности появления и восстановления отказов.
Случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что эта величина примет определённое значение т, выражается формулой
Pm = (λ m/m! ) e-λ (3. 1)
где λ – параметр распределения (некоторая положительная величина); m = 0, 1, 2, 3, …, п математическое ожидание Mx и дисперсия Dx случайной величины Х для закона Пуассона равны параметру распределения λ:
Mx = Dx = l
Распределение Пуассона является однопараметрическим с параметром λ.
Пример 3. 1. В ремонтную мастерскую по обслуживанию телевизоров поступают заявки со средней плотностью 5 шт. в течение рабочей смены за 10ч. Считая, что число заявок на любом отрезке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что за 2 ч рабочей смены поступят две заявки.
Решение. Среднее число заявок за 2 ч равно λ =2*5/10=1.
Применяя формулу (3. 1), найдем вероятность поступления двух заявок Pm = (λ m/m! ) e-λ = (12/2! )*е-1 = 0, 184.
3. 2. Экспоненциальное распределение
|
|
|
Экспоненциальный закон распределения, называемый также основным законом надёжности, часто используют для прогнозирования надёжности в период нормальной эксплуатации изделий, когда постепенные отказы ещё не проявились и надёжность характеризуется внезапными отказами. Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоятельств и поэтому имеют постоянную интенсивность. Экспоненциальное распределение находит довольно широкое применение в теории массового обслуживания, описывает распределение наработки на отказ сложных изделий, время безотказной работы элементов радиоэлектронной аппаратуры.
Приведём примеры неблагоприятного сочетания условий работы деталей машин, вызывающих их внезапный отказ. Для зубчатой передачи это может быть действием максимальной нагрузки на наиболее слабый зуб при его зацеплении; для элементов радиоэлектронной аппаратуры – превышение допустимого тока или температурного режима. Плотность распределения
экспоненциального закона (рис. 3. 1) описывается соотношением
f (x) = λ t-λ x ; (3. 2) функция распределения этого закона – соотношением
F(x) =1- exp (-λ x); (3. 3) функция надёжности
P(x) =1- F(x) = exp (-λ x); (3. 4) математическое ожидание случайной величины Х
M x = 
exp(-λ x) dx =; (3. 5) дисперсия случайной величины Х
∞
Dx = ∫ 0 xλ 2 exp (-λ x) – 1/λ 2=1/λ 2. (3. 6)
Экспоненциальный закон в теории надёжности нашёл широкое применение, так как он прост для практического использования. Почти все задачи, решаемые в теории надёжности, при использовании экспоненциального закона оказываются намного проще, чем при использовании других законов распределения. Основная причина такого упрощения состоит в том, что при экспоненциальном законе вероятность безотказной работы зависит только от длительности интервала и не зависит от времени предшествующей работы.
|
|
|
Пример 3. 2. Наработка на отказ очистного комбайна подчиняется экспоненциальному закону с параметром λ =3*10-4 ч-1. Найти вероятность безотказной работы за время t =100 ч. Определить математическое ожидание наработки на отказ.
Р е ш е н и е. Для определения вероятности безотказной работы воспользуемся формулой (3. 4), в соответствии с которой
|
|
|
