 |
Теорема умножения вероятностей.
|
|
|
|
Теорема умножения вероятностей.
Условная вероятность. Чтобы сформулировать в общем случае теорему умножения вероятностей, введем понятие условной вероятности.
Условная вероятность события А1 при наступлении события А2 – вероятность события А1, вычисленная в предположении, что событие А2 произошло:
P(А1 А2) = P(А1 А2)/P(А2). (10)
Вероятность произведения (совместного появления) двух событий А1 и
А2 (независимых) равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, в предположении, что первое событие произошло:
(11)
Для любого конечного числа событий теорема умножения имеет вид
(12)
В случае, если события А1 и А2 независимы, то соответствующие условные вероятности
(13)
поэтому теорема умножения вероятностей принимает вид
(14)
а для конечного числа n независимых событий
(15)
Следствием правил сложения и умножения вероятностей является: теорема о повторении опытов (схема Бернулли) – опыты считаются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из них не зависит от того, какие исходы имели другие опыты; формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса, которые находят широкое применение при решении большого числа задач.
5. 3. 1. Формула Бернулли
Пусть в некотором опыте вероятность события А равна P(А) = p, а вероятность того, что оно не произойдет P( 
) = q, причем, согласно (3) P(A) + P( 
) = p + q = 1 (16)
Если проводится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью p, то вероятность того, что в данной серии опытов событие А появляется ровно m раз, определяется по выражению
|
|
|
(17)
где - 
биномиальный коэффициент.
Например, вероятность однократной ошибки при чтении 32-разрядного слова в формате ЭВМ, представляющего комбинацию 0 и 1, при вероятности ошибки чтения двоичного числа p = 10-3, составляет по (17) Р32 (1) = 1* (10-3)1 * (0, 999)32 
0, 969 где q = 1- p = 0, 999; n = 32; m = 1.
Вероятность отсутствия ошибки чтения при m = 0, C0 32 = 1
Часто возникают задачи определения вероятностей того, что некоторое событие А произойдет по меньшей мере m раз или не более m раз. Подобные вероятности определяются сложением вероятностей всех исходов, которые составляют рассматриваемое событие. Расчетные выражения для такого типа
где Pn(i) – вероятность i-го события определяется по формуле (17).
При больших m вычисление биномиальных коэффициентов Cnm и возведение в большие степени p и q связано со значительными трудностями, поэтому целесообразно применять упрощенные способы расчетов. Приближение, называемое теоремой Муавра-Лапласа, используется, если npq> > 1, а |m-np|< (npq)0, 5, в таком случае выражение (17) записывается:
(18)
5. 3. 2. Формула полной вероятности и формула Байеса (формула вероятностей гипотез)
В практике решения большого числа задач формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса, являющиеся следствием основных теорем, находят широкое применение.
Формула полной вероятности.
Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H1, H2, … Hn, представляющих полную группу несовместных событий (для которой… 
), то вероятность события А, которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется:
P(A) = P(Hi ) P(A|Hi ), (19)
где P(Hi) – вероятность гипотезы Hi; P(А| Hi) – условная вероятность
события А при гипотезе Hi.
|
|
|
Если до опыта вероятности гипотез H1, H2, … Hn были равны P(H1), P(H2), …, P(Hn), а в результате опыта произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются:
(21)
Доопытные (первоначальные) вероятности гипотез P(H1), P(H2), …, P(Hn) называются априорными, а послеопытные - P(H1| А), … P(Hn| А) – апостериорными.
Формула Байеса позволяет «пересмотреть» возможности гипотез с учетом полученного результата опыта.
Доказательство формулы Байеса следует из предшествующего материала. Поскольку P(Hi А) = P(Hi)*А| Hi) = P(Hi)*P(Hi| А): откуда, с учетом (21), получается выражение (22).
(22)
Если после опыта, давшего событие А, проводится еще один опыт, в результате которого может произойти или нет событие А1, то условная вероятность этого последнего события вычисляется по (21), в которую входят не прежние вероятности гипотез P(Hi), а новые - P(Hi| А):
(23)
Выражение (23) называют формулой для вероятностей будущих событий.
|
|
|
