 |
Пример выполнения лабораторной работы №1
|
|
|
|
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
Образовательное учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
| Кафедра интеллектуальных и многопроцессорных систем | Т.В.Камышникова, А.В.Никитина, А.Е.Чистяков Современные проблемы прикладной математики и информатики Учебно-методическое пособие |
Ростов-на-Дону
Издательство Южного федерального университета
 |
УДК 517.949.8 (076.5)
518.12 (076.5)
Чистяков А.Е., Чистякова Т.А., Никитина А.В., Кузнецова И.Ю.
Современные проблемы прикладной математики и информатики: учебно-методическое пособие. – Ростов-на-Дону ЮФУ, 2016. – 100 с.
Учебно-методическое пособие включает краткое описание достаточно часто употребляемых прямых и итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений и методов решения нелинейных уравнений. Кроме того, в пособии изложены элементы теории интерполирования, линейного интегрирования, разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. В пособии приведены примеры использования описанных численных методов, а также варианты заданий для самостоятельной работы студентов.
Целью работы является обучение студентов работе с задачами, требующими большого объема вычислительной работы, с использованием универсальных решающих программ типа MathCad.
Пособие предназначено для студентов всех специальностей, изучающих численные методы и современные проблемы прикладной математики и информатики.
Знаком * обозначены вопросы повышенной сложности.
Ил.:4 Библиогр.: 58 назв.
Рецензент: доктор физико-математических наук, доцент, зав. отделом математического моделирования ФГБУН Южный математический институт Владикавказского научного центра (ЮМИ ВНЦ) РАН Е.С. Каменецкий.
|
|
|
Ó ЮФУ, 2016
 |
Содержание
Введение………………………………………………………………….4
1. Численное интегрирование………………………………...6
1.4. Пример выполнения лабораторной работы №1……………….12
1.5. Варианты заданий к лабораторной работе №1………………...14
2. Методы решения нелинейных уравнений…………...16
2.1. Метод половинного деления…………………………………….16
2.2. Метод хорд (метод линейной интерполяции)………………….17
2.3. Метод секущих…………………………………………………...19
2.4. Метод Ньютона…………………………………………………..21
2.5. Пример выполнения лабораторной работы №2………………..22
2.6. Варианты заданий к лабораторной работе №2………………...26
3. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений………………………………….28
3.1. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений…………………………………………………………28
3.2. Алгоритм LU-разложения………………………………………31
3.3. Метод прогонки………………………………………………….34
3.4. Пример выполнения лабораторной работы №3………………..38
3.5. Варианты заданий к лабораторной работе №3………………...45
4. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений…………………………………..48
4.1. Итерационные методы Якоби и Зейделя……………………….48
4.2. Каноническая форма итерационных методов………………….50
4.3. Вариационно-итерационные методы решения СЛАУ………...52
4.4. Пример выполнения лабораторной работы №4………………..54
4.5. Варианты заданий к лабораторной работе №4………………...58
5. Методы решения задачи Коши……………………………61
5.1. Метод Эйлера…………………………………………………….61
5.2. Метод Рунге–Кутта………………………………………………62
5.3. Пример выполнения лабораторной работы №5………………..63
|
|
|
5.4. Варианты заданий к лабораторной работе №5………………...67
6. Методы приближения функций…………………………..69
6.1. Интерполяционный полином Лагранжа и Ньютона…………...70
6.2. Интерполяционный кубический сплайн………………………..76
6.3. Понятие о методе наименьших квадратов……………………...77
6.4. Интерполяционный тригонометрический полином…………...80
6.5. Пример выполнения лабораторной работы №6………………..82
6.6. Варианты заданий к лабораторной работе №6………………...93
Библиографический список………………………………………………96
Введение
Невозможно представить себе современную науку без широкого применения методов и средств математики и информатики. К одному из важных методов современной прикладной математики относится математическое моделирование. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его «образом» – математической моделью – и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот «третий метод» познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, симуляционные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента). Неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы – от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.
Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук, и не случайно, что некоторые методы вычислений носят имена таких корифеев науки, как Ньютон и Эйлер, а слово «алгоритм» происходит от имени средневекового арабского ученого Аль-Хорезми. Второе «рождение» этой методологии пришлось на конец 40-х – начало 50-х годов XX века и было обусловлено по крайней мере двумя причинами. Первая из них — появление ЭВМ (компьютеров), хотя и скромных по нынешним меркам, но тем не менее избавивших ученых от огромной по объему рутинной вычислительной работы. Вторая – беспрецедентный социальный заказ – выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетно-ядерного щита, которые не могли быть реализованы традиционными методами. Математическое моделирование справилось с этой задачей: ядерные взрывы и полеты ракет и спутников были предварительно «осуществлены» в недрах ЭВМ с помощью математических моделей и лишь затем претворены на практике. Этот успех во многом определил дальнейшие достижения методологии, без применения которой в развитых странах ни один крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект теперь всерьез не рассматривается (сказанное справедливо и по отношению к некоторым социально-политическим проектам).
|
|
|
Сейчас математическое моделирование вступает в третий принципиально важный этап своего развития, «встраиваясь» в структуры так называемого информационного общества. Впечатляющий прогресс средств переработки, передачи и хранения информации отвечает мировым тенденциям к усложнению и взаимному проникновению различных сфер человеческой деятельности. Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, больше не поддаются исследованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен, так как многие из этих систем существуют в «единственном экземпляре». Цена ошибок и просчетов в обращении с ними недопустимо высока. Поэтому математическое (шире – информационное) моделирование является неизбежной составляющей научно-технического прогресса.
Без владения информационными «ресурсами» нельзя и думать о решении все более укрупняющихся и все более разнообразных проблем, стоящих перед мировым сообществом. Однако информация как таковая зачастую мало что дает для анализа и прогноза, для принятия решений и контроля за их исполнением. Нужны надежные способы переработки информационного «сырья» в готовый «продукт», т. е. в точное знание. История методологии прикладной математики и информатики убеждает: они могут и должны быть интеллектуальным ядром информационных технологий, всего процесса информатизации общества.
|
|
|
К основным проблемам прикладной математики информатики можно отнести: проблему обеспечения надёжности вычислений при ограничении точности исходных данных; изучение корректных, некорректных и промежуточных задач, изменения корректности при преобразованиях; устойчивость полученных решений; общую проблему надёжности вычислений и корректности математических моделей; методы избегания ошибок при применении стандартных прикладных программ MATLAB, MATHCAD и др.; тендем «жёстких» и «мягких» математических моделей; интервальные числа и их свойства; алгебраические системы интервальных чисел; задачи анализа и линейной алгебры в интервальной математике; интервальные методы решения дифференциальных уравнений; проблемы реализации интервальных методов на компьютере.
К одной из важных проблем прикладной математики и информатики можно отнести улучшение точности и сокращение времени решения СЛАУ большой размерности с самосопряженными и несамосопряженными операторами, а также плохо обусловленными матрицами. При математическом моделировании различных гидрофизических и биологических процессов возникает необходимость разработки новых методов решения систем нелинейных уравнений. При статистической обработке результатов натурных измерений проявляется потребность в разработке различных методов приближения функций, используемых для прогнозирования состояния моделируемых процессов.
Рассматриваемая проблематика дисциплины может включать обсуждения таких разделов, как: «Современные вычислительные методы», «Вычислительные платформы, средства и методы программирования», «Математическое моделирование в науке и технике» и др.
Весь материал пособия разбит на 6 лабораторных работ. На каждом занятии студент получает индивидуальное задание, которое выполняет самостоятельно под руководством преподавателя. Варианты заданий приведены в конце каждой лабораторной работы. Там же приведен порядок выполнения работ, показаны соответствующие способы решения поставленных задач с помощью пакета MathCad, приведено содержание отчета. После выполнения каждой лабораторной работы студент должен сделать выводы о проделанной работе.
|
|
|
Для решения математических задач в инженерной практике используются графические, аналитические и численные методы.
Графические методы позволяют оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение поставленной математической задачи находится путем геометрических построений.
При использовании аналитических методов решение задачи удается выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических или трансцендентных уравнений, дифференциальных уравнений и т.п., то использование известных из курса математики приемов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это слишком редкие случаи.
Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислениях вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоемких задач.
Учебно-методическое пособие по курсу «Современные проблемы прикладной математики и информатики» содержит краткое описание наиболее широко используемых на практике методов решения систем линейных алгебраических уравнений, элементы теории интерполирования и численного интегрирования.
Численное интегрирование
В этом параграфе будут описаны основные методы численного интегрирования, такие как метод прямоугольников, трапеций и метод Симпсона.
Рассмотрим различные способы приближенного вычисления определенного интеграла вида
| (1.1) |
основанные на замене этого интеграла конечной суммой
| (1.2) |
где 
– числовые коэффициенты и 
– точки отрезка 
, 
. Приближенное равенство
называется квадратурной формулой, а сумма вида (1.2) – квадратурной суммой. Точки называются узлами квадратурной формулы, а числа – коэффициентами квадратурной формулы. Разность
называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов. При оценке погрешности в приводимых ниже примерах функция 
предполагается достаточно гладкой.
Введем на равномерную сетку с шагом 
, т.е. множество точек
,
и представим интеграл (1.1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
| (1.3) |
на частичном отрезке 
и воспользоваться свойством аддитивности определенного интеграла.
Метод прямоугольников
Пользуясь малостью , заменим интеграл (1.3) выражением 
, где 
.
Тогда получим формулу
| (1.4) |
которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке .
Погрешность формулы (1.4) определяется величиной
которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем 
в виде
| (1.5) |
и воспользуемся разложением
где 
. Тогда из (1.5) получим
Обозначая 
, оценим следующим образом:
Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка
| (1.6) |
т.е. формула имеет погрешность 
при 
.
Заметим, что оценка (1.6) является не улучшаемой, т.е. существует функция , для которой (1.6) выполняется со знаком равенства. Действительно, для 
имеем 
, 
и
Суммируя равенства (1.4) по 
от 
до 
, получим составную формулу прямоугольников (центральных прямоугольников):
| (1.7) |
Погрешность этой формулы
равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам,
Отсюда, обозначая 
, получим
| (1.8) |
т.е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть величина 
.
В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет второй порядок точности.
Замечание. Можно также использовать формулы прямоугольников при ином расположении узлов, например, такие формулы (формулы левых и правых прямоугольников соответственно):
Однако из-за нарушения симметрии погрешность таких формул является величиной 
.
Метод трапеций
На частичном отрезке эта формула имеет вид
| (1.9) |
и получается путем замены подынтегральной функции 
интерполяционным многочленом первой степени, построенным по узлам 
, т.е. функцией
Для оценки погрешности достаточно вспомнить, что
Отсюда получим
и, следовательно,
| (1.10) |
Оценка (1.10) не улучшаема, так как в ней достигается равенство, например, для 
.
Составная формула трапеций имеет вид
| (1.11) |
где 
.
Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:
Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности 
, но ее погрешность оценивается величиной в два раза меньшей (см. (1.8)).
Метод Симпсона
При аппроксимации интеграла (1.3) заменим функцию параболой, проходящей через точки 
, 
, т.е. представим приближенно в виде
,
где 
– интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени,
| (1.12) |
Проводя интегрирование, получим
Таким образом, приходим к приближенному равенству
| (1.13) |
которое называется формулой Симпсона или формулой парабол.
На всем отрезке формула Симпсона имеет вид
Чтобы не использовать дробных индексов, можно обозначить
, 
, 
, 
и записать формулу Симпсона в виде
| (1.14) |
Прежде чем переходить к оценке погрешности формулы (1.13), заметим, что она является точной для любого многочлена третьей степени, т.е. имеет место точное равенство
.
Если 
, это утверждение нетрудно проверить непосредственно, что и предоставляется сделать читателю.
Для оценки погрешности формулы Симпсона построим многочлен третьей степени 
такой, что
, 
, 
Известно, что такой многочлен существует и единственен. Он построен в явном виде. Однако нам даже не потребуется явный вид многочлена . Вспоминая, что формула Симпсона точна для любого многочлена третьей степени, получим
| (1.15) |
Представим теперь в виде
  ,
| (1.16) |
где 
– погрешность интерполирования многочленом . Интегрируя (1.16) и учитывая (1.15), получим
| (1.17) |
Имеем
поэтому для погрешности получаем оценку
где 
.
Вычисляя интеграл, приходим окончательно к оценке
| (1.18) |
Погрешность составной формулы Симпсона (1.14) оценивается так:
Отсюда видно, что формула Симпсона существенно точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций. На частичном отрезке она имеет точность 
, а на всем отрезке – 
.
Пример выполнения лабораторной работы №1
Применим методы численного интегрирования для приближенного вычисления интеграла 
.
Алгоритм решения поставленной задачи в с использованием универсальных решающих программ типа MathCad.
1. Задаем число разбиений
.
2. Устанавливаем пределы интегрирования
.
3. Вычисляем шаг сетки
.
4. Вводим подынтегральную функцию
.
5. Рассчитываем точное значение интеграла
.
6. Рассчитываем значение интеграла методом левых прямоугольников
.
7. Выводим полученное значение
.
8. Выводим значение погрешности в случае использования левых прямоугольников
.
9. Рассчитываем значение интеграла и погрешности методом правых прямоугольников
.
.
10. Рассчитываем значение интеграла и погрешности методом центральных прямоугольников
.
11. Рассчитываем значение интеграла и погрешности методом трапеций
.
12. Рассчитываем значение интеграла и погрешности методом Симпсона
.
Варианты заданий к лабораторной работе №1
Примените методы численного интегрирования для вычисления следующих интегралов:
1. 
; 6. 
;
2. 
; 7. 
;
3. 
; 8. 
;
4. 
; 9. 
;
5. 
; 10. .
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1) титульный лист;
2) постановку задачи (согласно варианту);
3) краткое описание методов численного интегрирования;
4) программную реализацию данных методов;
5) выводы о проделанной работе.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие методы численного интегрирования вы знаете?
2. Какой из методов численного интегрирования, в вашем случае, оказался наиболее точным, а какой – наименее точным?
3. Чему равна погрешность численного интегрирования для вышеизложенных методов?
4. Запишите формулы для приближенного вычисления определенных интегралов.
5. Вычислите определенный интеграл с помощью методов численного интегрирования.
6. Для заданного примера найдите теоретическую и практическую погрешность численного вычисления определенных интегралов.
7. Сравните погрешность методов трапеций и центральных прямоугольников.
8. Как еще называется формула Симпсона и почему?
9. Запишите формулу для расчета погрешности методов численного интегрирования.
10.* Запишите формулу Симпсона через линейную комбинацию формул трапеций и центральных прямоугольников.
|
|
|
