 |
Пример выполнения лабораторной работы №3
|
|
|
|
Решите систему уравнений методом Гаусса и методом LU -разложения
Решите систему уравнений методом прогонки
Метод Гаусса для решения СЛАУ
Задаем матрицу коэффициентов и столбец свободных членов
Проверяем невырожденность матрицы коэффициентов
.
Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица не вырождена.
Вводим функцию выбора главного элемента с последующим установлением его на главную диагональ
Вызываем функцию выбора главного элемента
.
Выводим пример работы данной функции
Вводим функцию, реализующую алгоритм прямого хода метода Гаусса с выбором главного элемента:
Вызываем данную функцию
.
Выводим результат работы данной функции
, 
.
Вводим функцию, реализующую алгоритм обратного хода метода Гаусса:
Вызываем данную функцию
.
Выводим решение СЛАУ и делаем проверку
, 
.
Метод LU-разложения для решения СЛАУ
Задаем матрицу коэффициентов и столбец свободных членов
, 
.
Вводим функцию, реализующую алгоритм LU-разложения:
Вызываем данную функцию
.
Выводим матрицы 
и 
:
, 
,
, 
.
Делаем проверку
.
Вводим функцию, реализующую алгоритм обратного хода метода Гаусса с нижнетреугольной матрицей :
Вызываем данную функцию
.
Выводим результат работы функции
.
Вводим функцию, реализующую алгоритм обратного хода метода Гаусса с верхнетреугольной матрицей :
Вызываем данную функцию
.
Выводим решение СЛАУ и делаем проверку
, .
Метод прогонки для решения СЛАУ
Задаем диагонали матрицы коэффициентов и столбец свободных членов
, 
, 
, 
.
Вводим функцию, реализующую алгоритм прогонки:
Выводим результат работы функции
.
Варианты заданий к лабораторной работе №3
|
|
|
Задание 1
Решите системы уравнений методом Гаусса и методом 
- разложения.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
Задание 2
Решите системы уравнений методом прогонки.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1) титульный лист;
2) постановку задачи (согласно варианту);
3) краткое описание прямых методов расчета СЛАУ;
4) программную реализацию данных методов;
5) выводы о проделанной работе.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие методы решения СЛАУ вы знаете?
2. Каково условие применимости метода Гаусса для решения СЛАУ?
3. Каково условие применимости метода LU-разложения?
4. Какой из алгоритмов: прямой или обратный ход метода Гаусса наиболее трудоемкий с точки зрения количества арифметических операций?
5. Получить оценки числа арифметических операций для решения СЛАУ методом Гаусса.
6. Получить оценки числа арифметических операций для решения СЛАУ методом LU-разложения.
7. Условие применимости метода прогонки.
8. Получить оценки числа арифметических операций для метода прогонки.
9*. В каком случае метод LU-разложения требует меньшего количества арифметических операций для решения СЛАУ, чем метод Гаусса?
10*. Как изменяется условие применимости метода Гаусса для решения СЛАУ, если не используется алгоритм выбора главного элемента?
Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Итерационный метод позволяет найти последовательность приближений 
, сходящуюся к точному решению при 
, т.е. 
. Поскольку бесконечные процессы нереализуемы на практике, то обычно выполняется конечное число итераций, т.е. строится конечное множество векторов 
, причем, задаваясь некоторым малым числом e > 0 (погрешностью решения), добиваются, чтобы 
, где 
– некоторая норма вектора.
|
|
|
