Метод Крамерса-Кронига

Этот метод применим для поглощающих пленок, для которых ком­плексный показатель преломления полностью описывает оптические

свойства среды при заданной толщине пленки d:

= n - i × x

Метод позволяет определить n и x в широкой спектральной области на основе измерения одного из спектров – спектра отражения R(ν) или спектра пропускания T(ν), что выгодно отличает его от других методов, требующих большего числа измеряемых величин.

Комплексный коэффициент отражения на частоте ν может быть представлен в виде:

(ν)=[R(ν)] e , (2)

где R(ν) – измеряемое значение коэффициента отражения (по мощности) на частоте ν;

Ф(ν) – фаза комплексного коэффициента отражения. Фаза Ф и амплитуда R комплексного коэффициента отражения связаны между собой соотношением Крамерса-Кронига:

(3)

Оптические постоянные n и χ рассчитываются из формулы Фре­неля, которая, например для S -поляризации света имеет вид:

 

(4)

 

где q - угол падения света.

Таким образом, измерив спектр отражения R(ν) в диапазоне частот от ν₁ до ν₂ и экстраполируя функцию R(ν) за пределы диапазона измерений от ν₁ до 0 и от ν₂ до ∞, в соответствии с формулой (3) рассчитывают значения фазы Ф(ν) во всем спектральном диапазоне. Найденный таким образом комплексный коэффициент отражения на частях исследуемого диапазона (см (2)) используется для рас­чета n(n) и x (n) из выражения (4).

Погрешность в расчете n и x обусловлены экспериментальными погрешностями ΔR и Δθ при измерении коэффициента отражения и угла падения, а также погрешностью расчёта фазы Δφ сточником которой являются:

а) ограниченность интервала измерений n₁÷n₂ cвязанная с этим экстраполяция R(ν) за пределы области измерений;

б) наличие особой точки (ν = ν ₀) подынтегральной функции в выражении (3).

В настоящее время имеется ряд различных способов экстраполя­ции R(ν), а также способы устранения необходимости экстраполяции за счет коррекции полученного при интегрировании в пределах от n₁ до n₂ решения. Например, функция n(ν) представляется в виде:

, (5)

 

где a, b, c, f – константы, которые определяются из условия миминизации величины δR, d - толщина пленки.

Погрешности значений n и x при этом снижается до 5% при погрешности

Измерений R ~1%.

3. Для поглощающей плёнки на прозрачной подложке разработан метод расчета оптических постоянных n(n) и x (ν) на основе экспериментальных спектров отражения R(ν) и пропускания T(ν). При учете многократного отражения света в плоскопараллельном слое пленки интерференции коэффициенты R и T на заданной частоте n вы­ражаются:

 

(6)

 

где A, A', B, B', C, C', D, D' являются функциями n₀, n_s, n, x;

n₀,n_s – показатели преломления воздуха и материала подложки,

Метод расчета реализуется следующие образом. Задавая произволь­нее значения n и x, рассчитывают в соответствии с формулами (6) значения Т и R, затем в координатах n, x строят кривых, соответствующих T = const и R = const. По экспериментальным значениям коэффициентов пропускания T_эксп и отражения R_эксп, выби­рают соответствующую пару кривых T_эксп = const и R_эксп = const, по пересе­чению которых находят значение n и x. Преимущество метода состоят в относительной простоте расчета при достаточно полной модели (учитывается поглощение, многократное прохождение и интерференция излучения).

4. Для слабо поглощающих пленок применяется метод расчета оптических постоянных по спектральной интерференционной кривой коэффициента пропускания Т (или отражения R). К наиболее важным оптическим характеристикам пленки относятся пропускание τ, толщина t и показатель преломления n₂:

(7), (8), (9)

где λ – длина волны, ń₂ – комплексный показатель преломления, x – коэффициент поглощения.

Для проведения расчетов необходимо интерференционная кривая пропускания образца (пленки на подложке) в функции длинны волны λ (волнового числа ν). Обозначим показатели преломления последовательно расположенных сред: n₁=ρ – для воздуха, n₂ – для пленки, n₃ – для подложки, n₄ – для воздуха. Величина коэффициентов отражения R₁ на границе 1,2 и R₂ на границе 2,3 определяются следующим образом:

(10)

 

Пропускание интерференционного фильтра, таким является рассматриваемая система, в максимуме полосы равно:

 

(11)

 

где T _max =T'_max+T"_max, (11’)

T' _max – значение максимума пропускания по экспериментальной кривой T(ν);

T" _max =R₃ – (1 – T' _max) R₃ – слагаемое, учитывающее R₃ – отражение на границе 3,4.

 

(13)

Оптическая толщина плёнок равна:

(14)

Где ν_n+1, ν_n – волновые числа соседних экстремумов на кривой T(ν). Контрастность С интерференционного фильтра определяется:

(15)

где T _min =T' _min +T" _min, (15’)

T' _min – значение минимума пропускания по экспериментальной кривой T(ν);

T" _min =R₃ – (1 – T' _min) R₃ – слагаемое, учитывающее отражение на границе 3,4.

Совокупность уравнений (11), (14), (15) являются системой, в результате решения которой определяются значения основных оптических параметров плёнки τ, t и n₂. Последовательность вычислений искомых величин такова. Из формулы (15) выразим единственный независимый в ней показатель преломления n₂, учитывая, что R₁ и R₂ в ней задаются формулами (10), T _max – формулой (11’), T _min – формулой (15’).

(17)

После расчета R₁ и R₂ по формулам (10) вычисляем τ, выражение для которогo получим из (12);

(18)

(19)

Толщина плёнки t определяется из (14), а затем на основе формул (7) и (8) рассчитываются значения k и x. Таким образом, все оптические константы плёнки рассчитаны.

Погрешность вычислений будет зависеть в основном от неточности представления величин R₁ и R₂ по формулам (10), не учитывающим поглощения в плёнке. Точная запись для коэффициентов отражения на границе 1,2 и R₂ на границе 2,3 соответственно имеет вид:

 

(20)

Найдем: начиная с каких значений x относительная ошибка в определении R₁'; превысит на перёд заданную величину γ₁

(21)

Из (21) выразим x:

(22)

 

Практическая часть

 

1. Изучить устройство, принцип действия спектрофотометра СФ– 46.

2. Зарегистрировать спектр пропускания тонкой плёнки SiO₂ на подложке NaCl, KBr в области 400– 1000 нм.

3. Проанализировать полученную спектрограмму, определить экспериментальные значения T' _max, T' _min, ν_n+1, ν_n, занести их в таблицу, составленную по форме.

 

T' max

T' min

νn+1

νn

T max

T min

c

n2

τ

t

x

 

4. По известным значениям n₃ и n₄ рассчитать по формуле (13) значения R₃ и, используя его определить по формулам (12), (16) величины T" _max, T" _min и в соответствии с (11’) и (15’) – значения T _max и T _min. Внести значения T _max и T _min в таблицу.

5.Рассчитать контрастность с по формуле (15): и затем – значение n₂, воспользовавшись формулой (17).

6. Рассчитать R₁ и R₂ по формулам (10), воспользовавшись результатами расчетов, определить значение τ по формулам (18) и(19).

7. Рассчитать: на основе формуле (14) – значение t, на основе формул (7), (8) – значения r и x.

8. Определить, пользуясь формулой (20), начиная с каких значений x, погрешность значений R₁', превышает 0,01.

9. Повторить расчёт n₂, τ, t, x для 3-4 пар экстремумов n₂(ν), x (ν). Изобразите графически зависимости n₂(ν), x (ν).

 

 

Контрольные вопросы

1. Определение оптических свойств тонких плёнок. Эллипсометрия.

2. Сущность метода Крамерса - Кронича.

3. Определения оптических постоянных тонких поглощающих плёнок по измеренным значениям коэффициентам пропускания и отражения.

4. Расчёт оптических констант прозрачных тонких плёнок по спектральной интерференционной кривой пропускания.

Литература

1. Черёмухин Г.С. Расчёт оптических характеристик плёнок “ОМП”, 1976, №6 с. 13-15.

2. Новое в исследовании поверхности твёрдого тела. Под ред. Т. Джайядевайя, Р. Ванселов. М “Мир”, 1977, 372 с.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: