Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Определение необходимой численности выборки

В практике организации выборочного наблюдения возникает потребность определения необходимой численности выборки для обеспечения заданной точности предельной ошибки выборки и ее вероятности. Определение необходимой численности выборки основывается на формуле предельной ошибки выборки.

Из формулы предельной ошибки выборки среднего значения признака при повторном отборе

находим .

При бесповторном случайном отборе необходимая численность выборки вычисляется по формуле: .

При типической выборке: .

При серийной выборке .

Необходимая численность выборки при определении доли исчисляется по аналогичным формулам с той разницей, что вместо дисперсии количественного признака, используется дисперсия альтернативного признака.

Так, для случайной бесповторной выборки формула необходимой численности выборки будет иметь следующий вид:

Пример 1

Из 1000 рабочих предприятия в порядке случайной бесповторной выборки обследовано 100 человек, которые по уровню дневной выработки распределились так:

Дневная выработка (шт.)	30-40	40-50	50-60	60-70	Итого
Число рабочих

По этим данным установить:

1) среднюю дневную выработку одного рабочего предприятия с вероятностью 0,954.

2) Долю рабочих предприятия с дневной выработкой 60 штук и более с вероятностью 0,683.

3) Объем выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки при определении средней выработки не превышала 2-х штук.

4) Объем выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки при определении доли рабочих с дневной выработкой 60 штук и более не превышала 6%.

Решение:

В нашем примере объем выборки (n)=100 рабочих. Численность генеральной совокупности (N) 1000 рабочих.

Для нахождения выборочной средней () и выборочной дисперсии () составим расчетную таблицу:

Таблица 4

Дневная выработка, шт.	Число рабочих (f)	x	x-A (A =45)	K =10 (x ’)
30-40 40-50 50-60 60-70			-10 +10 +20	-1 +1 +2	-30 +24 +26
Итого		х	х			х

При вероятности 0,954 t =2, тогда шт.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя дневная выработка одного рабочего предприятия находится в пределах шт.,т.е. будет не меньше 45,08 и не больше 48,92 штук.

Выборочная доля рабочих с дневной выработкой 60 штук и более по условию задачи равна: , а выборочная дисперсия доли

Средняя ошибка доли:

при вероятности 0,683 t=1, тогда

Следовательно, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля рабочих предприятия с дневной выработкой 60 шт. и более находится в пределах 13 3,2 или от 9,8 до 16,2%.

3) рабочих.

Для того, чтобы предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 (при дисперсии = 102) не превышала 2-х штук, достаточно подвергнуть выборочному обследованию 93 рабочих.

4) рабочих.

Для того, чтобы предельная ошибка выборки при вероятности 0,954 не превышала 6%, необходимо подвергнуть выборочному обследованию 112 рабочих.

Пример 2

Из 2500 рабочих трёх цехов завода подвергнуто пропорциональному типическому отбору 200 человек, которые по проценту выполнения норм выработки распределились следующим образом:

Число рабочих по профессиям % выпол- нения норм выработки	Слесари	Токари	Шлифовщики	Итого
90-100
100-110
110-120
Итого

Принимая, что в каждой группе произведена случайная повторная выборка, определить:

1. Возможные пределы среднего процента выполнения норм выработки всеми рабочими завода (с вероятностью 0,954).

2. Возможные пределы доли рабочих, выполняющих нормы выработки не менее чем на 100% (с вероятностью 0,997).

3. Необходимую численность выборки при определении среднего процента выполнения норм выработки, чтобы с вероятностью 0,954, предельная ошибка выборки не превышала 1%.

4. Необходимую численность выборки при определении доли рабочих, выполняющих нормы выработки не менее чем на 100%, чтобы предельная ошибка выборки не превышала 3% (с вероятностью 0,954).

Решение:

1) Средняя ошибка выборочной средней при типической выборке (повторный отбор) исчисляется по формуле:

где - средняя внутригрупповая дисперсия, равная средней взвешенной из дисперсий отдельных типических групп.

Для нахождения выборочной средней и средней внутригрупповой дисперсии составим расчётную таблицу:

Таблица 5

Расчетная таблица

% выполнения норм выработки

Число рабочих

(

= =105)

(

=10)

Слесари

Тока- ри

Шлифов-щики

Итого

90-100

-10

-1

-2

-20

-18

-40

100-110

110-120

+10

+30

+40

+100

Итого

Определяем выборочную среднюю:

Дисперсии типических групп (внутригрупповые дисперсии) определим по формуле:

Средняя ошибка выборки будет равна:

Предельная ошибка выборки составит:

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний процент выполнения норм выработки всеми рабочими завода находится в пределах , т.е. от 106,94% до 109,06%.

2) Выборочная доля

Средняя ошибка выборочной доли при типическом повторном отборе определяется по формуле:

;

Средняя ошибка доли будет равна:

Тогда предельная ошибка: .

Следовательно, с вероятностью 0,997, можно утверждать, что доля рабочих завода, выполняющих нормы выработки не менее, чем на 100%, находится в пределах , т. е. от 71,72% до 88,28%.

3) Объём выборки, обеспечивающий предельную ошибку выборки не более чем 1%, будет равен (с вероятностью 0,954)

рабочих.

4) Объём выборки при исчислении доли, обеспечивающий предельную ошибку выборки не более чем на 3% (с вероятностью 0,954)

рабочих.

Пример 3

Из 30 бригад (по 10 человек каждая) отобрано 3 бригады, рабочие которых распределились по возрасту следующим образом:

№ бригады	Возраст рабочих (лет)
	35, 42, 28, 23, 51, 18, 36, 29, 46, 32
	18, 24, 49, 32, 54, 43, 27, 38, 51, 26
	50, 44, 36, 28, 23, 41, 31, 24, 46, 33

Определить:

1) с вероятностью 0,683 средний возраст рабочих всех 30 бригад;

2) объём выборки, обеспечивающий с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки, не превышающую 1 года.

Средний возраст рабочих по каждой бригаде определим по формуле средней арифметической простой, как сумму возрастов всех рабочих бригады, делённую на число рабочих.

Так, средний возраст рабочих первой серии (бр. №5) будет равен

года