Методологическая проблема простоты

Что же остается после того, как мы устранили эстетическое или прагматическое понятие простоты, и остается ли вообще что-либо? Существует ли понятие простоты, представляющее интерес для логика? Возможно ли различить теории, которые были бы логически неэквивалентны по своим степеням простоты?

Положительный ответ на эти вопросы вполне может показаться сомнительным, если вспомнить, сколь мало успеха принесло до сих пор большинство попыток определить это понятие. Шлик, например, дает отрицательный ответ на эти вопросы. Он говорит: «Простота представляет собой... понятие, указывающее на предпочтения, которые по своему характеру являются частично практическими, частично эстетическими»¹. Примечательно, что Шлик дает такой ответ как раз тогда, когда пишет об интересующем нас сейчас понятии, которое я буду называть эпистемологическим понятием простоты. Далее он продолжает: «Даже если мы не способны объяснить, что в действительности подразумевается нами под понятием «простота», нам все же следует признать тот факт, что любой ученый, которому удалось представить серию наблюдений при помощи очень простой формулы (например, при помощи линейной, квадратичной или экспоненциальной функции), сразу же убеждается в том, что он открыл закон».

Шлик обсуждает возможность определения понятия законосообразной регулярности, и в частности возможность различения «закона» и «случая», на основе понятия простоты. В конечном счете он отвергает такую возможность, отмечая при этом, что «простота, без сомнения, является полностью относительным и неопределенным понятием и на его основе нельзя построить ни строгого определения причинности, ни четкого различения закона и случая»². Приведенные цитаты из работы

¹ Schlick M. Die Kausalitдt in der gegenwдrtigen Physik // Naturwissenschaften, 1931, Bd. 19, H. 7, S. 148. *Я даю вольный перевод используемого Шликом термина «pragmatischer».

² Ibidem.

Шлика ясно показывают, какова в действительности та простота, которой мы желаем достичь. Это понятие должно дать нам меру степени законосообразности или регулярности событий. Аналогичная точка зрения выдвигается Фейглем, когда он говорит об «идее определения степени регулярности или законосообразности с помощью понятия простоты»³.

Эпистемологическое понятие простоты играет особую роль в теориях индуктивной логики, например в связи с проблемой «простейшей кривой». Сторонники индуктивной логики полагают, что мы приходим к законам природы путем обобщения отдельных наблюдений. Если мы представляем различные результаты, полученные в некоторой серии наблюдений, точками в некоторой системе координат, то графическое представление закона будет иметь вид кривой, проходящей через все эти точки. Однако через конечное число точек мы всегда можем провести неограниченное число кривых самой разнообразной формы. Таким образом, поскольку имеющиеся наблюдения не позволяют единственным образом определить данный закон, индуктивная логика сталкивается, следовательно, с проблемой установлений той кривой, которую следует выбрать из всех этих возможных кривых.

Обычный ответ на этот вопрос звучит так: «Выбирай простейшую кривую». Витгенштейн, к примеру, говорит: «Процесс индукции состоит в том, что мы принимаем простейший закон, согласующийся с нашим опытом»⁴. При выборе простейшего закона обычно неявно предполагается, что линейная функция проще квадратичной, окружность проще эллипса и т.д. Однако при этом не приводится никаких оснований, кроме эстетических и практических, ни для предпочтения этой конкретной иерархии степеней простоты любой другой возможной иерархии, ни для убеждения в том, что «простые» законы имеют какие-то преимущества по сравнению с менее простыми законами⁵. Шлик и Фейгль⁶ ссылаются в этой связи на неопубликованную работу Нэткина, который, согласно сообщению Шлика, предполагает считать одну кривую проще другой, если усредненная кривизна первой кривой меньше усредненной кривизны второй, или, согласно описанию Фейгля, если она меньше, чем вторая кривая, отклоняется от прямой (эти описания неэквивалентны). Это определение, на первый взгляд, довольно хорошо согласуется с нашей интуицией, однако в нем упускается из виду самое важное. Согласно такому определению, к примеру, некоторые (асимптотические) отрезки гиперболы значительно проще круга, и т.п. Впрочем, я не думаю, чтобы этот вопрос можно было бы действительно разрешить при помощи

³Feigl Н. Theorie und Erfahrung in der Physik. Karlsruhe, G. Braun, 1929, S. 25.

⁴ Wittgenstein L. Tractates Logico-Philosophicus. London, Routledge and Kegan Paul, 1922 [русский перевод: Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. М., ИЛ, 1958, утверждение 6.363].

⁵Замечание Витгенштейна о простоте логики (Wittgenstein L. Tractatus Logico-Philosophicus. London, Routledge and Kegan Paul, 1922 [русский перевод: Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. М., ИЛ, 1958, утверждение 5.4541], которое устанавливает «стандарт простоты», не дает никакого ключа к решению нашей проблемы. Рейхенбаховский «принцип простейшей кривой» (Reichenbach H. Axiomatik der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Mathematische Zeitschrift, 1932, Bd. 34, H. 4, S. 616) основывается на его Аксиоме Индукции (которая, по моему мнению, несостоятельна и приносит мало пользы).

⁶ См. упомянутые в этом разделе их работы.

таких «хитроумных изобретений» (как называет их Шлик). К тому же все равно остается загадкой, почему мы должны отдавать предпочтение простоте, которая определена столь специфическим способом.

Вейль рассматривает и отвергает очень интересную попытку обоснования понятия простоты с помощью понятия вероятности: «Предположим, например, что двадцать пар значений \х, у) одной функции у = f(x) при нанесении на миллиметровую бумагу располагаются (в пределах ожидаемой точности) на прямой линии. В таком случае напрашивается предположение о том, что здесь мы имеем дело с точным законом природы и что у линейно зависит от х. Это предположение обусловлено простотой прямой линии или, иначе говоря, тем, что расположение двадцати пар произвольно взятых значений очень близко к прямой линии было бы крайне невероятным, если рассматриваемый закон был бы иным. Если же теперь использовать полученную прямую как основание для интерполяции и экстраполяции, то мы получим предсказания, выходящие за пределы того, что говорят нам наблюдения. Однако такой ход мысли может быть подвергнут критике. Действительно, всегда имеется возможность определить все виды математических функций, которые... будут удовлетворять двадцати нашим наблюдениям, причем некоторые из этих функций будут значительно отклоняться от прямой. И относительно каждой такой функции мы можем считать, что было бы крайне невероятно, чтобы наши двадцать наблюдений лежали именно на этой кривой, если бы она не представляла собой истинный закон. В этой связи действительно важным является то, что данная функция или скорее данный класс функций предлагается нам математикой а priori именно в силу их математической простоты. Следует отметить, что параметры, от которых этот класс функций должен зависеть, не должны быть столь же многочисленны, как и наблюдения, которым эти функции должны удовлетворять»⁷. Замечание Вейля о том, что «данный класс функций предлагается нам математикой а priori именно в силу их математической простоты» и его упоминание числа параметров согласуются с моей точкой зрения (как она будет изложена в разделе 43). Однако Вейль не разъясняет, что же представляет собой «математическая простота», а главное, он ничего не говорит о тех логических или эпистемологических преимуществах, которыми, как предполагается, обладает более простой закон по сравнению с более сложным⁸.

⁷ Weyl H. Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft. Mьnchen-Berlin, Oldenbourg, 1927, S. 116 (английский перевод: Philosophy of Mathematics and Natural Science. Princeton, University Press, 1949, p. 156). *Когда я писал эту свою книгу, я не знал (и Вейль, без сомнения, не знал, когда писал свою), что Джеффрис и Ринч за шесть лет до Вейля предложили измерять простоту некоторой функции при помощи малочисленности ее свободно заменимых параметров (см. их совместную статью: Jeffries Н., Wrinch D. // Philosophical Magazine, 1921, vol. 42, p. 369 и след.). Я хочу воспользоваться предоставившейся возможностью, чтобы подтвердить заслуги этих авторов.

⁸ Последующие замечания Вейля о связи между простотой и подкреплением также имеют отношение к рассматриваемой нами проблеме. Эти замечания в основном согласуются с моими взглядами, изложенными в разделе 82, хотя и сам мой подход, и мои аргументы в его пользу значительно отличаются от подхода Вейля (см. примечание 1 к разделу 82 и *добавленное в последующих изданиях этой книги примечание *1 к разделу 43).

Приведенные цитаты из работ разных авторов очень важны для нас, поскольку они имеют непосредственное отношение к нашей цели, то есть к анализу эпистемологического понятия простоты. Дело в том, что это понятие до сих пор не определено с достаточной точностью. Следовательно, всегда имеется возможность отвергнуть любую (к примеру, мою) попытку придать этому понятию точность на том основании, что интересующее эпистемологическое понятие простоты в действительности совершенно отлично от того понятия, которое предлагается. На такие возражения я мог бы ответить, что я не придаю какого-либо значения самому слову «простота». Этот термин был введен не мною, и я хорошо сознаю его недостатки. Я только утверждаю, что понятие простоты, которое я стремлюсь уточнить, помогает ответить на те самые вопросы, которые, как показывают приведенные цитаты, часто ставились философами науки в связи с «проблемой простоты».