7. 1. 2. Дифференциальные уравнения конвективного

 7. 1. 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОНВЕКТИВНОГО

                                                МАССООБМЕНА

     Целью решения задачи конвективного массообмена является получение уравнения, позволяющего определить поле концентраций в пределах одной фазы, т. е. определить зависимость:

 

                                               с =f (x, y, z, τ ),                                  (7. 11)

 

где x, y, z – координаты рассматриваемой точки;

          τ - время.

По аналогии с переносом теплоты теплопроводностью и конвекцией поле концентраций может быть одно-, двух- и трехмерным, а также стационарным и нестационарным. Как и в теории теплопроводности, частные уравнения массообмена получают при совместном рассмотрении дифференциального уравнения переноса массы с соответствующими условиями однозначности, задаваемыми начальными и граничными условиями.

Дифференциальное уравнение конвективного массообмена можно написать сразу по аналогии с уравнением конвективного теплообмена:

 

    

                           ∂ с/∂ τ + w_x∂ с/∂ x + w_y∂ с/∂ y + w_z∂ с/∂ z =

                                                                                                                

                                = D(∂ ²с/∂ x² + ∂ ²с/∂ y² + ∂ ²с/∂ z²).                     (7. 12)

 

По своему физическому смыслу дифференциальное уравнение конвективного массообмена (7. 7) является частным случаем закона сохранения массы компонента, концентрация которого равна с.

Если фаза неподвижна, то проекции скоростей на оси координат w_x =

= w_y = w_z = 0. Поэтому дифференциальное уравнение (7. 7) упростится и примет вид:

                              ∂ с/∂ τ = D(∂ ²с/∂ x² +∂ ²с/∂ y² + ∂ ²с/∂ z²).               (7. 13)

 

Уравнение (7. 7) или (7. 8), справедливое для молекулярной диффузии, по записи аналогично дифференциальному уравнению теплопроводности Фурье.

Уравнение (7. 7) необходимо рассматривать совместно с уравнением неразрывности

                                  ∂ w_x/∂ x +∂ w_y/∂ y + ∂ w_z/∂ z = 0                       (7. 14)

 

и уравнением Навье-Стокса (закон сохранения импульса )

 

для оси x

                   ρ ( ∂ w_x/∂ τ + w_x∂ w_x/∂ x + w_y∂ w_x/∂ y + w_z∂ w_x/∂ z) =

                           

               = ρ g_x -  ∂ p/∂ x + μ (∂ ²w_x/∂ x² + ∂ ²w_x/∂ y² + ∂ ²w_x/∂ z²);  

                       

для оси y

                ρ ( ∂ w_y/∂ τ + w_x∂ w_y/∂ x + w_y∂ w_y/∂ y + w_z∂ w_y/∂ z) =

                                                                                                              (7. 15)

              = ρ g_y -  ∂ p/∂ y + μ (∂ ²w_y/∂ x² + ∂ ²w_y/∂ y² + ∂ ²w_y/∂ z²);  

        

для оси z

               ρ ( ∂ w_z/∂ τ + w_x∂ w_z/∂ x + w_y∂ w_z/∂ y + w_z∂ w_z/∂ z) =

                           

             = ρ g_z-  ∂ p/∂ z + μ (∂ ²w_z/∂ x² + ∂ ²w_z/∂ y² + ∂ ²w_z/∂ z²).

 

Таким образом, задача конвективного массообмена описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (7. 12)-(7. 15). Решение этих дифференциальных уравнений содержит постоянные (константы) интегрирования и потому не является однозначным, то есть система имеет бесчисленное множество решений. Для того чтобы получить единственное решение, необходимо к системе дифференциальных уравнений присоединить условия однозначности, которые конкретизируют задачу.

В настоящее время основной путь решения задач совместного тепло- и массообмена состоит в использовании аналогий, существующих в процессах переноса массы, энергии и импульса. Так, например, при умеренных скоростях и приближении теории пограничного слоя уравнения диффузии (7. 10) и энергии (3. 12) аналогичны, причем сама структура уравнения энергии ничем не отличается от случая «чистого» теплообмена (теплообмена, не осложненного массообменом) в однокомпонентной среде. В случае, если скорости умеренные, гравитационные силы несущественны, отсутствует продольный градиент давления и имеет место приближение теории пограничного слоя, имеется аналогия между уравнениями диффузии, энергии и движения. В неподвижных средах, если физические свойства неизменны а теплоемкости компонентов равны, существует аналогия между теплопроводностью и диффузией.

Поэтому при наличии аналогии граничных условий на межфазной поверхности для массо- и теплообмена существует широкая аналогия между явлениями тепло- и массообмена, которая позволяет решать множество практических задач совместного тепломассообмена на основе известных зависимостей для «чистого» теплообмена.

          7. 2. АНАЛОГИЯ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО-                            

                           И МАССООБМЕНА

     Теоретическая основааналогии процессов тепло- и массообмена при умеренной интенсивности массообмена – одинаковая структура математического описания процессов теплообмена и массообмена. Аналогия имеет место при выполнении следующих условий:

1) граничные условия для полей температур и концентраций подобны (в частности, неизменные значения граничных температур и концентраций);

2) поперечный поток вещества имеет столь малую интенсивность, что практически не искажает основную гидродинамическую картину течения смеси;

3) температурные перепады настолько малы, что изменение физических свойств с температурой несущественно.

Условие 2 заведомо выполняется, если во всей системе, включая границы, концентрация активного компонента невелика.

При выполнении условий аналогии уравнение подобия для процесса «чистого» теплообмена (не осложненного массообменом):

 

                                               Nu = f (Re, Pr, Gr)                           (7. 16)

 

совпадает с уравнением подобия для массообмена:                               

 

                                                 Nu_D = f (Re, Pr_D, Gr_D).                        (7. 17)

 

В соотношениях (7. 16) и (7. 17) вид функции f тождествен. Число Рейнольдса:

                                                      Re = w_∞ ℓ /ν                                 (7. 18)

 

одинаково в обоих уравнениях подобия. Числам Нуссельта Nu и Прандтля Pr для теплообмена:

 

                                             Nu =(ℓ /λ )(q_cт/(Т_ст – Т_∞ );                     (7. 19)

 

                                             Pr = c_p μ /λ = ν /α                                   (7. 20)

 

ставятся в соответствие диффузионные числа Нуссельта Nu_D и Прандтля Pr_D для процесса массообмена:

                                    Nu_D = (ℓ /D)(m_а/(с_а – с_а∞ );                            (7. 21)

 

                                         Pr_D = μ /(ρ D) = ν /D.                                 (7. 22)

 

Число Грасгофа, имеющее для процессов конвективного теплообмена вид:

                                       Gr = (gβ ℓ ³/ ν ²)(Т_ст – Т_∞ ),                         (7. 23)

 

в случае массообмена выражается через разность граничных значений плотности смеси:

                                       Gr_D  =(gℓ ³/ρ ν ²)(ρ _ст – ρ _∞ ),                          (7. 24)

 

где ℓ - характерный линейный размер системы;

индексы «ст» и ∞ означают условие на стенке (границе раздела фаз) и вдали от стенки в основном потоке (ядре).

При вынужденной конвекции уравнения подобия часто записывают относительно чисел Стантона St. При соблюдении аналогии

 

                                                St = φ (Re, Pr);                                 (7. 25)

 

                                               St_D =φ (Re, Pr_D).                               (7. 26)

 

Здесь числу Стантона

 

                              St = q_ст/[c_pρ _∞ w_∞ (Т_ст - Т_∞ )≡ Nu_D/(Re·Pr_D)        (7. 27)

 

для условий теплообмена ставится в соответствие диффузионное число Стантона:

                               St_D = m_а/[ρ _∞ w_∞ (с_а – с_а∞ )≡ Nu_D/(Re·Pr_D)        (7. 28)

 

для процессов массообмена. При выполнении аналогии вид функции φ в соотношениях (7. 25) и (7. 26) тождествен.

Величина Nu определяет тепловой поток, отводимый от границы раздела фаз путем теплопроводности:

 

                                               q_ст = - λ (∂ Т/∂ x₁)_c;                             (7. 29)

 

величина Nu_D определяет поток массы компонента а на границе, обусловленный диффузией:

                                         m_а = - D(∂ c_а/∂ x₁)_c.                                   (7. 30)

 

Полный поток массы компонента а, пересекающего границу, М_а сла-гается из конвективного потока m_та и потока вследствие молекулярной диффузии m_а :

                                           М_а =m_а + m_та.                                        (7. 31)

 

Расчет массообмена на основе аналогии состоит в отыскании значения Nu_D по соответствующему уравнению подобия для «чистого» теплообмена, не осложненного массообменом, при подстановке в него вместо Pr и Gr значений Pr_D и Gr_D. Так, теплообмен при продольном обтекании пластины в случае ламинарного пограничного слоя при определяющем размере x описывается формулой:

 

                                             Nu_x =0, 332 Re_x^{0, 5}Pr^1/3.                        (7. 32)

 

Массообмен в этих условиях при соблюдении аналогии определяется зависимостью:

                                            Nu_Dx =0, 332 Re_x^{0, 5}Pr_D^1/3.                    (7. 33)

 

 

⇐ Предыдущая20212223242526272829Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: