 |
Формы представления детерминированных сигналов.
|
|
|
|
В зависимости от структуры информации параметров сигналы подразделяются на:
· Дискретные
· Непрерывные
· Дискретно-непрерывные
Сигнал считают дискретным по данному параметру, если число значений, которое может принимать этот параметр конечно или счетно.
Если множество возможных значений параметра образует континуум, то сигнал называется непрерывным по данному параметру
Сигнал дискретный по одному параметру и не прерывный по второму называется дискретно-непрерывным.
В соответствии с этим существуют разновидности математических представлений детерминированного сигнала представленные на рисунке 3:
Рисунок 3
А) Непрерывность функции непрерывного аргумента - времени (аналоговый сигнал)
Б) Непрерывность функции дискретного аргумента. Например, функция, значение которой отсчитывается только в определённые моменты t.
В) Дискретная функция непрерывного аргумента. Например, функция времени, кванотванная по уровню
Г) Дискретная функция дискретного аргумента. Например, функция, принимающая одно из конечного множества возможных значений (уровней) в определенные моменты t.
Модели сигналов в виде функций t предназначены в первую очередь для анализа формы сигналов.
Желательно найти такое представление сигнала, которое облегчает задачи исследования происхождения реальных сигналов, часто имеющих достаточно сложную форму через интересующие нас системы.
С этой целью сложные сигналы представляются совокупностью элементарных (базисных) функций, удобных для последующих заданий.
Наиболее широкий класс исследуемых систем – это инвариантные во времени линейные системы. При анализе прохождения сложного сигнала u(t) через такие системы его представляют в виде взвешиваемой суммы базовых функций φк(i) (или соответствующего ей интеграла)
|
|
|
(1)
Где 
и 
– интервал существовавшего сигнала.
При выбранном наборе базисных функций сигнал u(t) полностью определится совокупностью безразмерных коэффициентов 
такие совокупности чисел называют дискретными спектрами сигналов. На интервале 
выражение 1 справедливо как для сигналов неограниченных во времени, так и для сигналов конечной длительности.
Однако за пределами этого интервала сигнал кон. Длит. 
, так как он представлен суммой в том случае, если условно считается периодически продолжающимся.
Поэтому когда для ограниченного во времени сигнала необходимо получить представление справедливое для любого момента t используется интеграл:
(2)
Где 
– это базисная функция с непрерывно изменяющимся параметром 
.
В этом случае имеется непрерывный (сплошной) спектр сигнала, который представляется спектральной плотностью 
. Ее размерность обратна размерности . Аналогом безразмерного коэффициента 
здесь является величина 
.
Совокупность методов представления сигналов в виде 1 и 2 называют обобщенной спектральной теорией сигналов. В рамках линейной теории спектры являются удобной аналитической формой представления сигналов. Для теоретического анализа базисную функцию 
надо выбирать так, чтобы они имели простое аналитическое выражение. Обеспечивали быструю сходимость ряда (1) и позволяли легко вычислять значение коэффициентов .
Базисные функции необязательно должны быть действительными. Их число может быть неограниченно 
В случае практической аппроксимации реального сигнала совокупностью базисных сигналов решающее значение приобретает простота технической реализации.
Сигнал представляется суммой ограниченного числа 
действительных линейно-независимых базисных функций.
|
|
|
7. Ортогональные представления сигналов
Вычисление спектральных составляющих сигнала существенно облегчается при выборе в качестве базиса системы ортогональных функций.
Система функций 
называется ортогональной на отрезке 
, если для всех 
, 
за исключением случая 
удовлетворяется условие 
(3)
Эта система функций будет ортонормированной (или ортогональной), если для всех справедливо соотношение 
(4)
Если соотношение 4 не выполняется и 
, 
, то систему можно нормировать, умножая функцию 
на 
Определим коэффициент 
при представлении сигнала 
совопокупностью ортонормированной функции в виде 
, 
, (5)
Предполагая, что интервал лежит внутри отрезка ортогональности . Левую и правую части уравнения (5) умножим на 
и интегрируем на интервал
(6)
В силу справедливости условия 3 все интегралы правой части уравнения 6 при k≠j будут равны нулю.
При k=j в соответствии с равенством 4 интеграл = 1 следовательно: 
(7)
В теоретических исследованиях обычно используют полные системы ортогональных функций, обеспечивая сколь угодно малую разность непрерывных функций u(t) и представляющего ее ряда при неограниченном увеличении числа членов.
Разность оценивают по критерию: 
(8)
При этом говорят о среднеквадратической сходимости ряда 
к функции u(t)
Широко известной ортонормированной системой является совокупность тригонометрических функций кратных аргументов:
;
;
; k=1,2,3…
Она ортонормирована на отрезке [-π,π]
Так как соответственно разложение исторически появилось первым и было названо рядом Фурье, то соотношением пять часто называют обобщенным рядом Фурье, а значения 
- обобещнными коэффициентами Фурье.
Можно применять и другие разложения, например, по функциям Хаара, ортонормированным на [0,1]
Известны представления сигналов по системам ортогональных базисных многочленов Котельникова, Чебышева, Лаггера, Лежандра и других, а также не ортогональные разложения по функциям Лагранжа, Тейлора и др.
Обобщенная спектральная теория облегчает решение проблемы обоснованного выбора базисных функций для конкретных задач анализа процессов, происходящих при формировании и прохождении сигналов через те или иные звенья информационной системы. Существуют и другие формы представления сигналов. К ортогональным формам представления относится временная форма, частотная форма представления сигнала.
|
|
|
|
|
|
