 |
Повторные независимые испытания
|
|
|
|
Вероятность 
появления события 
раз в серии из 
независимых опытов, в каждом из которых вероятность появления события равна 
, определяется формулой биноминального распределения
.
Вероятность появления события хотя бы один раз при опытах будет
.
Количество опытов, которые нужно произвести для того, чтобы с вероятностью не меньше 
можно было утверждать что данное событие произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле:
где – вероятность появления события в каждом опыте.
Число 
называется наивероятнейшим числом наступлений события А,если 
для всех m = 0,1,…, 
. Это число определяется по формуле
.
Пример 1. Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет 2 раза.
Решение. Здесь 
; 
; 
; 
;
.
Пример 2. Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.
Решение. Имеем n = 96; р = 0,08; q = 0,92,
Если число испытаний достаточно велико, а вероятность достаточно мала, причем их произведение а = np стремится к постоянному числу 
, то вероятность 
можно приближенно найти по формуле Пуассона
.
Если число испытаний достаточно велико, а вероятности и q не очень близки к нулю 
, то вероятность 
можно приближенно найти по локальной формуле Муавра – Лапласа
,
где 
; 
– функция Гаусса, она табулирована,
.
В условиях локальной формулы Муавра – Лапласа вероятность 
того, что число успехов заключено между 
и 
, можно приближенно найти по интегральной формуле Муавра – Лапласа
,
где 
– функция Лапласа, она табулирована, 
.
Пример 3. На факультете насчитывается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно для 2-х студентов?
|
|
|
Решение. Имеем n = 500; 
, q = 0,9973. Так как 
, то воспользуемся формулой Пуассона
.
Пример 4. Вероятность брака при изготовлении деталей постоянна и равна 0,05. Какова вероятность, что в партии из 1000 изделий встретится равно 40 бракованных.
Решение. По условию задачи n = 1000, m = 40; p = 0,05; q = 0,95. Кроме того: 
Поэтому воспользуемся локальной формулой Муавра – Лапласа
Пример 5. Фабрика выпускает 70 % продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число изделий первого сорта будет заключено между 652 и 760?
Решение. По условию имеем: n = 1000, p = 0,7, q = 0,3, = 652, = 760. Искомую вероятность найдем по интегральной формуле Муавра – Лапласа
Если в некоторой серии из n испытаний событие А наступает m раз, то частота его появления 
. Тогда неравенство 
равносильно неравенствам 
, и из интегральной теоремы Муавра-Лапласа следует
.
Пример 6. Сколько раз надо подбросить симметричную монету, чтобы с вероятностью 0,9 частота 
появления герба отличалась от 
не более чем на 0,01?
Решение. Подставим значения в формулу
§6. Дискретные случайные величины. Непрерывные случайные
величины. Числовые характеристики случайных величин
Случайная величина называется дискретной, если ее возможные значения можно перенумеровать. Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределения или функцией распределения. Рядом распределения называется совокупность всех возможных значений 
и соответствующих им вероятностей 
| 
| 
| … | 
|
| 
| 
| … | 
|
.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция 
, равная вероятности 
того, что случайная величина будет меньше произвольно выбранного значения х. Функция вычисляется по формуле
,
где суммирование ведется по всем значениям i, для которых 
.
Случайная величина называется непрерывной, если существует неотрицательная функция 
, удовлетворяющая при всех х равенству
|
|
|
.
Функция называется плотностью распределения
.
Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения либо плотностью распределения. Функция распределения 
, где х – произвольное действительное число, дает вероятность того, что случайная величина Х окажется меньше х.
Функция имеет следующие основные свойства:
1. 
2. 
3. 
4. 
Плотность распределения обладает следующими основными свойствами:
1. 
,
2. 
,
3. 
,
4. 
.
Пусть дискретная случайная величина принимает значения 
с вероятностями 
соответственно, тогда математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется число
.
Если непрерывная случайная величина Х имеет плотность распределения вероятностей , то
.
|
|
|
