Показательное распределение
⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4 Если плотность распределения вероятностей случайной величины задана функцией тогда случайная величина распределена по показательному (экспоненциальному) закону. Для показательного закона верно: Если Т – время безотказной работа механизма, то Пример 5. Время безотказной работы прибора подчинено показательному закону с плотностью распределения вероятностей Решение. По условию
Нормальный закон распределения Плотность вероятности нормального распределения случайной величины имеет вид:
где а – математическое ожидание, Для нормального распределения верно
где Для нормального распределения верны формулы: Пример 6. Измерение дальности до объекта сопровождается систематическими (математическое ожидание) и случайными ошибками. Систематическая ошибка равна 50 м в сторону занижения дальности. Случайные ошибки подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением Решение. Пусть Х – суммарная ошибка измерения дальности. Ее систематическая составляющая а = –50 м, поэтому имеем Пример 7. Средняя масса коробки конфет равна 540 г. Найти
Решение. По условию а = 540,
Неравенство Чебышева Пусть у случайной величины Х определено
Для относительной частоты
Пример 1. Игральная кость подбрасывается 1200 раз. Оценить вероятность отклонения относительной частоты выпадения 6 очков от вероятности этого события (по модулю) на величину, меньшую, чем 0,02. Решение. Исходя из неравенства Чебышева, имеем Пример 2. Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,85. Оценить вероятность того, что из 400 посеянных семян число взошедших будет заключено в пределах от 300 до 380. Решение. Случайная величина Х – число взошедших семян имеет биноминальное распределение
Решение типовых задач Задача 1. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать? Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 человек, заместителем – любой из оставшихся 29, а профоргом – любой из оставшихся 28. По правилу умножения имеем
Задача 2. В шахматном турнире участвуют 10 гроссмейстеров, 6 международных мастеров и 4 мастера. Шахматисты для первого тура и номер столиков для каждой пары участников определяются путем жеребьевки. Найти вероятность того, что за первым столиком встретятся шахматисты одной и той же категории. Решение. Число всех равновозможных случаев определения двух соперников из 20 участников равно числу сочетаний из 20 элементов по 2, т.е.
Задача 3. На стеллаже библиотеке в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А). Решение. Первый способ. Требование – хотя бы один из трех учебников в переплете – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий: В – один учебник в переплете, С – два учебника в переплете, D – три учебника в переплете. Интересующие нас события А можно предоставить в виде суммы событий: А=В+С+D. По теореме сложения, Р (А) =Р (В) +Р (С)+ Р (D). (*) Найдем вероятность событий В, С и D: Подставив эти вероятности в равенство (*), окончательно получим Р (А) = 45/91+20/91+2/91=67/91. Второй способ. Событие А (хотя бы один из взятых трех учебников имеет переплет) и Вероятность появления события Искомая вероятность Задача 4. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй – 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом. Решение. Обозначим через А событие – деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятность равна
Искомая вероятность того, что взятая деталь произведена первым автоматом, по формуле Байеса равна
Задача 5. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождевых дней. Найти вероятность того, что из случайно зафиксированных в этом месяце 8 дней дождливыми окажутся: а) три дня; б) не менее трех дней; в) не более трех дней. Решение. Наблюдения в условиях данной задачи являются независимыми. Вероятность выпадение дождя в любой день сентября р = 12/30 = 0,4, а вероятность того, что в любой день сентября дождя не будет, q = 1 –р = 1–0,4 = 0,6. Вероятность а) По условию задачи n = 8, m = 3, p = 0,4, q = 0,6. Тогда
б) Поскольку n = 8, в) Так как n = 8, Задача 6. На факультете 730 студентов. Вероятность дня рождения каждого студента в данный день равна 1/365. Вычислить вероятность того, что найдутся 3 студента, у которых дни рождения совпадают. Решение. В данном случае n = 730, m = 3, p = 1/365, q = 1–1/365 = 364/365. Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Муавра – Лапласа:
Имеем:
Задача 7. Проводится четыре независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина Х – число появления события А в четырех опытах. Записать закон распределения СВ Х. Вычислить математическое ожидание Решение. Случайная величина Х может принимать следующие значения: В результате вычислений получим закон распределения в виде следующей таблицы:
Далее находим: Задача 8. Дана функция распределения СВ Х Найти плотность распределения вероятностей f (x), математическое ожидание Решение. Так как Далее вычисляем:
Задача 9. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 12,5. Вероятность попадания СВ Х в интервал (10;15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания СВ Х в интервал (35;40)?
Решение. Для нормального распределения верна формула Находим: Т.к. Задача 10. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х
Найти значение р, математическое ожидание Решение. Т.к. Найдем математическое ожидание Х: Найдем математическое ожидание Найдем дисперсию Х: Задача 11. Для непрерывной случайной величины Х задана плотность распределения Найти: а) параметр Решение. а) Так как
Задача 12. Вероятность некоторого события в каждом испытании из серии 9000 независимых испытаний равна 1/3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что частота этого события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01. Решение: Неравенство Чебышева для СВ Х имеет вид Для данной задачи неравенство Чебышева записывается в виде где Тогда Таким образом, согласно неравенству Чебышева, имеем оценку
Редактор Л.И. Чигвинцева Компьютерная верстка О.Г. Белименко ИД № 06039 от 12.10.2001 Свод. темплан 2010 г. Подписано в печать 15.01.2010. Формат 60х84 1/16. Отпечатано на дупликаторе. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 5,25. Уч.-изд. л. 5,25. Тираж 150 экз. Заказ 60.
Издательство ОмГТУ. Омск, пр. Мира, 11. Т. 23-02-12
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|