Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Свойства математического ожидания




1. ,

2. ,

3. ,

4. , если случайные величины X и Y независимы.

Дисперсией или рассеянием случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

.

Величина называется средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

Для непрерывных случайных величин

.

Основные свойства дисперсии

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Пример 1. Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых имеется 10 дефектных, выбраны случайным образом 5 изделий для проверки их качеств. Построить ряд распределения случайного числа Х – дефектных изделий содержащихся в выборке. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Значения случайной величины принимают значения Вероятность вычислим по формуле

В результате получим

           
0,583 0,340 0,070 0,007    

.

.

Пример 2. Производятся последовательные независимые испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить ряд распределения случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого из них равна 0,9. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Значения случайной величины есть А их вероятности будут иметь значения

и ряд имеет вид

         
0,1 0,09 0,081 0,0729 0,6561

,

Пример 3. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения . Найти: а) плотность распределения ; б) математическое ожидание, дисперсию; в) вероятность .

.

Решение. а) Плотность вероятности

б) Математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины найдем по формулам

в) Вероятность попадания случайной величины Х на промежуток вычислим по одной из формул


Основные законы распределения случайных величин.

Биномиальный закон распределения

Пусть в каждом из независимых испытаний событие А появляется с вероятностью . Тогда случайная величина Х, означающая число появлений события А в независимых испытаниях, может принимать значения 0,1,2,…, с вероятностями

.

Такое распределение называется биноминальным. Здесь имеем

Пример 1. Найти среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, а вероятность выигрыша одного билета равна 0,1. Найти дисперсию числа успехов в данном опыте.

Решение.

Распределение Пуассона

Если число испытаний велико, а вероятность р появления события А мала, то

где m – число появления события А в независимых испытаниях; a = np. Для распределения Пуассона . Если a выражает число появлений события за единицу времени, то вероятность наступления событий за время t определяется формулой Пуассона

.

Пример 2. Среднее число машин, прибывающих в автопарк за 1 минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 5 минут прибудет не менее двух машин.

Решение. ,

Гипергеометрическое распределение

Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, M, N, если она принимает значения с вероятностями , где – натуральные числа; известно, что

.

Пример 3. В сетке 8 баскетбольных мячей, из которых 6 уже были использованы для игр. Для очередной игры отобрали 2 мяча, а после игры положили опять в сетку. Найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины Х, равной числу оставшихся после игры новых мячей.

Решение. Первоначально в сетке было 2 новых мяча, а после игры их может остаться 0 или 1 или 2:

, .

Х      
Р

, .

 

Равномерное распределение

Если случайная величина Х принимает все значения с постоянной плотностью распределения вероятностей , то говорят, что случайная величина Х распределена равномерно на отрезке . Плотность равномерно распределенной случайной величины Х

Известно, что

Пример 4. Поезда метро идут с интервалом в 2 минуты. Найти вероятность того, что пассажир, пришедший на станцию, будет ожидать поезд менее 30 секунд.

Решение. Пусть случайная величина Х – время прихода пассажира на станцию. Очевидно, что Х – равномерно распределена на интервале . Функция распределения имеет вид:

Отсюда

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...