Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Тема 4. Показатели вариации

Пример 21

Имеются данные о распределении рабочих по тарифным разрядам (таблица 21.1).

Таблица 21.1 – Распределение рабочих по тарифным разрядам

Тарифный разряд
Число рабочих

Определить: а) дисперсию; б) среднее квадратическое отклонение; в) коэффициент вариации.

Решение

Дисперсия (), или средний квадрат отклонений для рядов распределения, исчисляется по формуле

т. е. является средней арифметической квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней.

Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением:

Выражается он в единицах измерения изучаемого признака.

Коэффициент вариации – относительный показатель колеблемости, равный процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Как величина относительная, выраженная в процентах, коэффициент вариации применяется для сравнения степени вариации различных признаков.

Как видно из формул, для расчета показателей вариации необходимо предварительно определить среднюю величину. Исчислим указанные выше показатели вариации, представив необходимые расчеты в таблице 21.2.

Таблица 21.2 – Расчет показателей вариации

Тарифный разряд,	Число рабочих, чел.,
		- 2,5	- 2,5	6,25
		- 1,5	- 3,0	4,50
		- 0,5	3,0	1,50
		0,5	4,0	2,00
		1,5	4,5	6,75
Итого		-	-	21,00

Определим показатели:

разряда.

Так как < 40%, то совокупность достаточно однародна и средняя характеристика достаточна надежна.

Пример 22

По данным условия предыдущего примера исчислить дисперсию по формуле

Решение

Все расчеты представим в таблице 22.1.

Таблица 22.1 – Расчет дисперсии

Тарифный разряд,	Число рабочих, чел.,





Итого		-

Дисперсия равна

Среднее квадратическое отклонение:

разряда.

Пример 23

Имеются данные о распределении работников организации обслуживания населения по размеру средней месячной заработной платы (таблица 23.1).

Таблица 23.1 – Распределение работников организации обслуживания населения по размеру средней месячной заработной платы

Группы работников по размеру заработной платы, руб.	Численность работников, чел.
До 100
100-120
120-140
140-160
160-180
180-200
Свыше 200
Итого

Определить дисперсию заработной платы по способу моментов.

Решение

Способ моментов основан на математических свойствах дисперсии, применение которых значительно упрощает технику ее вычисления, а для рядов распределения с равными интервала приводит к формуле

где – длина интервала;

– момент первого порядка;

– момент второго порядка;

– ложный ноль.

Определим дисперсию по формуле, представив необходимые расчеты в таблице 23.2.

Таблица 23.2 – Расчет дисперсии способом моментов

Группы работников по размеру заработной платы, руб.,	Число работников, чел.,	Середина интервала,
До 100			-3	-6
100-120			-2	-24
120-140			-1	-15
140-160
160-180
180-200
Свыше 200
Итого		-	-

Исчислим моменты первого и второго порядка:

Затем вычислим средний квадрат отклонений (дисперсию):

Пример 24

Удельный вес основных рабочих в трех цехах предприятия составил: 80, 75 и 90% общей численности рабочих. Определить дисперсию и среднее квадратическое отклонение доли основных рабочих по предприятию в целом, если численность всех рабочих трех цехов составила соответственно 100, 200 и 150 человек.

Решение

Рабочие предприятия подразделяются на две группы: основные и ремонтно-вспомогательные рабочие.

Общая численность основных рабочих по предприятию в целом составит:

человек.

Доля основных рабочих по предприятию

Дисперсия альтернативного признака составит

где – доля единиц, обладающих данным признаком (доля основных рабочих);

– доля единиц, не обладающих данным признаком (доля ремонтно-вспомогательных рабочих).

Поскольку , следовательно, и формула дисперсии имеет вид

Среднее квадратическое отклонение доли основных рабочих по предприятию в целом:

Пример 25

Для изучения взаимосвязи между стажем работы и производительностью труда (часовой выработкой) произведена группировка рабочих, приведенная в таблице 25.1.

Таблица 25.1 – Группировка рабочих по стажу работы с указанием среднечасовой выработки продукции на одного рабочего

Группа, №	Группы рабочих по стажу, лет	Число рабочих, чел.	Среднечасовая выработка продукции одного рабочего, шт.
I	До 3		2; 2; 3; 3; 4
II	3 – 5		2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4;

Определить:

1) среднюю часовую выработку продукции по каждой группе рабочих и по двум группам вместе;

2) дисперсию по каждой группе рабочих (групповые дисперсии) и среднюю из групповых дисперсий;

3) дисперсию групповых средних от общей средней (межгрупповую дисперсию);

4) общую дисперсию по правилу вложения дисперсий;

5) коэффициент детерминации;

6) эмпирическое корреляционное отношение.

Решение

1 Определим среднюю выработку по каждой группе рабочих и по двум группам:

шт.; шт.;

шт. или шт.

2 Исчислим дисперсии по каждой группе рабочих по формуле:

Предварительно строим по каждой группе рабочих ряды распределения по выработке (таблицы 25.2 и 25.3). Затем исчислим групповые дисперсии.

Таблица 25.2 – Ряд распределения первой группы рабочих по выработке

Выработка, шт.,	Число рабочих, чел.,
		- 0,8	0,64	1,28
		0,2	0,04	0,08
		1,2	1,44	1,44
Итого		-	-	2,80

Дисперсия для первой группы .

Таблица 25.3 – Ряд распределения второй группы рабочих по выработке

Выработка, шт.,	Число рабочих, чел.,
		- 1,4	1,96	3,92
		- 0,4	0,16	0,80
		0,6	0,36	2,88
Итого		-	-	7,60

Дисперсия для второй группы .

Исчислим среднюю из групповых (частных) дисперсий по формуле

;

3 Межгрупповая дисперсия

;

4 Определим общую дисперсию по правилу сложения дисперсий

;

5 Определяем коэффициент детерминации

или 11,5%.

Коэффициент детерминации показывает, что вариация среднечасовой выработки рабочих обусловлена вариацией стажа лишь на 11,5%.

6 Исчислим эмпирическое корреляционное отношение

Оно показывает, что для данной группы рабочих связь между производственным стажем и среднечасовой выработкой незначительная.

Пример 26

Имеются данные о времени простоя автомобиля под разгрузкой (таблица 26.1).

Таблица 26.1 – Время простоя автомобиля под разгрузкой

№ пункта разгрузки
Число грузчиков
Время простоя, мин.

Проверить закон сложения дисперсий.

Решение

В данной задаче варьирующим признаком является время простоя автомобиля под разгрузкой. Общая дисперсия времени простоя под разгрузкой определяется по формуле

Для расчета общей дисперсии составляется дискретный ряд распределения, промежуточные расчеты представим в таблице 26.2.

Таблица 26.2 – Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Время простоя под разгрузкой, мин,	Число выполненных разгрузок,
		- 4
		- 2




Итого		-	-

мин – среднее время простоя.

– общая дисперсия.

Величина этой дисперсии характеризует вариацию времени простоя под разгрузкой под влиянием всех условий.

Различия в величине изучаемого признака прежде всего возникают под влиянием числа грузчиков, принимающих участие в процессе разгрузки. В связи с этим в совокупности выделяются две однородные группы по числу грузчиков: в первую группу включаются наблюдения при числе грузчиков 3; во вторую группу попадают наблюдения при числе грузчиков 4. Для каждой из выделенных групп определяется внутригрупповая дисперсия, возникающая под влиянием неучтенных факторов. Для их расчета использованы вспомогательные таблицы 26.3 и 26.4.

Таблица 26.3 – Расчет внутригрупповой дисперсии по первой группе (число грузчиков, участвующих в разгрузке, – 3)

Время простоя под разгрузкой, мин,	Число выполненных разгрузок,
		- 4
		- 1


Итого		-

мин.; .

Таблица 26.4 – Расчет внутригрупповой дисперсии по второй группе (число грузчиков, участвующих в разгрузке, – 4)

Время простоя под разгрузкой, мин,	Число выполненных разгрузок,
		- 1,33	5,31
		0,67	0,90
		2,67	7,13
Итого		-	13,37

мин.; .

Средняя из групповых дисперсий

Межгрупповая дисперсия, отражающая различия в величине признака под влиянием фактора, положенного в основу группировки, определяется по формуле

Общая дисперсия () равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии

что и соответствует полученной ранее величине.

Пример 27

Имеются данные о результатах обследования рабочих предприятия по размеру месячной заработной платы (таблица 27.1).

Таблица 27.1 – Информация о численности рабочих по возрасту и размере заработной платы

Группы рабочих по возрасту, лет	Число рабочих	Дисперсия заработной платы
До 20
20-30
30 и старше

Общая дисперсия заработной платы в обследованной совокупности рабочих составила 450.

Определить, в какой степени вариация заработной платы рабочих предприятия зависит от возраста.

Решение

Средняя внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию под влиянием неучтенных факторов

Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию под влиянием фактора, положенного в основу группировки (возраста рабочих).

Межгрупповая дисперсия определяется по правилу сложения дисперсий

Отсюда соотношение дисперсий

или 8,0%.

Полученный результат показывает, что возраст на варьирование заработной платы рабочих предприятия не оказывает существенного влияния.

Пример 28

Дисперсия признака равна 600. Объем совокупности равен 10. Сумма квадратов индивидуальных значений признака равна 6250. Найти среднюю величину.

Решение

Для нахождения средней величины воспользуемся формулой

где – средняя арифметическая из квадратов индивидуальных значений признака;

– квадрат среднего значения признака.

Тогда .

Средняя величина признака

Тема 5. Индексы

Пример 29

Имеются данные по одному из магазинов (таблица 29.1).

Таблица 29.1 – Объем реализации тканей по магазину

Вид ткани	Реализовано, тыс. м	Цена за 1 м, ден. ед.
базисный период ()	отчетный период ()	базисный период ()	отчетный период ()
Хлопчатобумажные	15,0	13,8	2,8	3,1
Льняные	9,5	10,0	6,0	7,8

Определить:

1 Индивидуальные индексы физического объема, цен.

2 Сводные индексы объема реализации, цен и товарооборота.

3 Абсолютное изменение товарооборота общее и в результате изменения цен и физического объема реализованных товаров.

Сделать выводы.

Решение

1 Рассчитаем индивидуальные индексы физического объема и цен.

Индивидуальный индекс физического объема () равен

или 92%, т. е. объем реализации хлопчатобумажной ткани в отчетном периоде снизился по сравнению с базисным на 8% (92 – 100).

или 105%, т. е. объем реализации льняной ткани в отчетном периоде увеличился по сравнению с базисным на 5% (105 – 100).

Индивидуальный индекс цен () объема равен

или 111%, т. е. цена за 1 метр хлопчатобумажной ткани увеличилась в отчетном периоде на 11% (111 – 100).

или 130%, т. е. цена за 1 метр льняной ткани увеличилась в отчетном периоде на 30% (130 – 100).

2 Рассчитаем сводные индексы физического объема, цен и товарооборота.

Сводный индекс физического объема равен

или 99,6%.

Сводный индекс цен равен

или 122,4%.

Сводный индекс товарооборота равен

или 122%

или

или 122%.

3 Абсолютное изменение товарооборота () составит

тыс. руб.

Абсолютное изменение товарооборота () в результате изменения цен составит

тыс. руб.

Абсолютное изменение товарооборота () в результате изменения физического объема реализованных товаров составит

тыс. руб.

Следовательно, товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным вырос на 22% или на 22,78 тыс. руб. Это произошло за счет влияния двух факторов:

- за счет роста цен товарооборот вырос на 22,4% или на 22,14 тыс. руб.;

- за счет изменения объема реализованных товаров товарооборот снизился на 0,4% или на 0,36 тыс. руб.

Пример 30

Имеются данные о продаже товаров в торговых предприятиях района (таблица 30.1).

Таблица 30.1 – Объем товарооборота торговых предприятий района

Товар	Товарооборот, тыс. руб.	Изменение средних цен во II квартале по сравнению с I кварталом, %
I квартал	II квартал
Обувь			+12
Трикотаж			+5
Изделия из кожи			+2

Определить:

1) изменение цен на проданные товары (индекс цен);

2) общий индекс товарооборота;

3) общий индекс физического товарооборота.

Решение

1 Общий индекс цен вычислим в форме среднего гармонического индекса

где – индивидуальный индекс цен.

Определим индивидуальные индексы цен:

обувь 100 + 12 = 112%

трикотаж 100 + 5 = 105%

изделия из кожи 100 + 2 = 102%

Таким образом: или 107,6%, т. е. цены в среднем выросли на 7,6%.

Сумма перерасхода, полученная населением от повышения цен, составит

155 – 144 = + 11 тыс. руб.

2 Общий индекс товарооборота составит

или 133,6%, т. е. товарооборот во II квартале вырос по сравнению с I кварталом на 33,6%, а в денежном выражении – на 39 тыс. руб. (155 – 116).

3 Общий индекс физического объема товарооборота составит

или 124,1%, т. е. количество проданных товаров выросло на 24,1%, что составляет 28 тыс. руб.

Между вычисленными индексами существует взаимосвязь:

тыс. руб.

Пример 31

Имеются данные по одной из кондитерских фабрик (таблица 31.1).

Таблица 31.1 – Затраты на производство продукции кондитерской фабрики

Вид продукции	Общие затраты на производство продукции, тыс. ден. ед.	Индивидуальный индекс физического объема продукции
базисный период	отчетный период
Карамель	25,0	27,0	1,05
Шоколадные конфеты	54,0	55,0	1,12

Определить абсолютное изменение затрат на производство продукции за счет изменения физического объема и себестоимости произведенной продукции.

Решение

Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения физического объема продукции () найдем как разницу между числителем и знаменателем индекса физического объема

Из формулы выразим , тогда

или 109,8%,

тыс. ден. ед.

Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения себестоимости () найдем как разницу между числителем и знаменателем сводного индекса себестоимости

или 94,5%,

тыс. ден. ед.

Следовательно, за счет роста объема произведенной продукции на 9,8% затраты на производство продукции выросли на 7,73 тыс. ден. ед., однако снижение цен на 5,5% способствовало снижению затрат на 4,73 тыс. ден. ед.

Пример 32

Имеются данные о производстве продукции и затратах времени на ее производство (таблица 32.1).

Таблица 32.1 – Объем производства продукции за базисный и отчетный год и затраты времени на ее производство

Вид продукции	Базисный год	Отчетный год
произведено, тыс. ц ()	затрачено тыс. чел./дн. ()	произведено, тыс. ц ()	затрачено тыс. чел./дн. ()
Лук		7,3		7,5
Морковь		7,6		7,7

Определить индекс производительности труда.

Решение

Индекс производительности труда рассчитывается по формуле

где – индекс трудоемкости;

, – трудоемкость соответственно в базисном и отчетном году.

Трудоемкость рассчитывается по формуле

где – затраты рабочего времени;

– объем производства продукции.

Трудоемкость за отчетный период равна

чел.-дн./ц; чел.-дн./ц.

Трудоемкость за базисный период равна

чел.-дн./ц; чел.-дн./ц.

Таким образом

или 104,4%, т. е. производительность труда в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 4,4%.

Пример 33

Динамика себестоимости и объема продукции характеризуется данными, представленными в таблице 33.1.

Таблица 33.1 – Объем произведенной продукции по заводам за базисный и отчетный периоды

Завод	Выработано продукции, тыс. ед.	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.
базисный период ()	отчетный период ()	базисный период ()	отчетный период ()
Завод №1	7,0	7,4
Завод №2	6,8	7,0

Определить:

1) индекс себестоимости переменного состава;

2) индекс себестоимости постоянного состава;

3) индекс изменения структуры.

Решение

1 Индекс себестоимости переменного состава (индекс среднего уровня) рассчитывается по формуле

Индекс показывает, как изменилось среднее значение показателя за счет двух факторов (изменения самой себестоимости на отдельном заводе и изменений в структуре выработанной продукции).

или 116%.

2 Индекс себестоимости постоянного (фиксированного) состава рассчитывается по формуле

Индекс показывает, как изменилось среднее значение показателя за счет изменения первого фактора (себестоимости).

или 114%.

3 Индекс структурных сдвигов рассчитывается по формуле

Индекс показывает, как изменилось среднее значение показателя за счет изменения второго фактора (объема произведенной продукции).

или 102%.

Между этими индексами существует связь:

Следовательно, среднее значение себестоимости по двум заводам в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилось на 16%. За счет изменения себестоимости единицы продукции по отдельным заводам среднее значение себестоимости по двум заводам увеличилось на 14%. За счет изменений в структуре объема выработанной продукции среднее значение себестоимости увеличилось на 2%.

Пример 34

Расходы консолидированного бюджета Республики Беларусь на социально-культурные мероприятия представлены в таблице 34.1.

Таблица 34.1 – Расходы консолидированного бюджета Республики Беларусь на социально-культурные мероприятия

Виды расходов	Фактически действовавшая цена, млрд руб.	Объем расходов, млн руб.
город А	город Б	город А	город Б
Здравоохранение			32,5	17,8
Образование			44,6	24,1
Физическая культура, спорт, культура и СМИ			7,6	4,6