Тема 4. Показатели вариации
Пример 21 Имеются данные о распределении рабочих по тарифным разрядам (таблица 21.1).
Таблица 21.1 – Распределение рабочих по тарифным разрядам
Определить: а) дисперсию; б) среднее квадратическое отклонение; в) коэффициент вариации.
Решение Дисперсия (
т. е. является средней арифметической квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением:
Выражается он в единицах измерения изучаемого признака. Коэффициент вариации – относительный показатель колеблемости, равный процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической:
Как величина относительная, выраженная в процентах, коэффициент вариации применяется для сравнения степени вариации различных признаков. Как видно из формул, для расчета показателей вариации необходимо предварительно определить среднюю величину. Исчислим указанные выше показатели вариации, представив необходимые расчеты в таблице 21.2.
Таблица 21.2 – Расчет показателей вариации
Определим показатели:
Так как
Пример 22 По данным условия предыдущего примера исчислить дисперсию по формуле
Решение Все расчеты представим в таблице 22.1.
Таблица 22.1 – Расчет дисперсии
Дисперсия равна
Среднее квадратическое отклонение:
Пример 23 Имеются данные о распределении работников организации обслуживания населения по размеру средней месячной заработной платы (таблица 23.1).
Таблица 23.1 – Распределение работников организации обслуживания населения по размеру средней месячной заработной платы
Определить дисперсию заработной платы по способу моментов.
Решение Способ моментов основан на математических свойствах дисперсии, применение которых значительно упрощает технику ее вычисления, а для рядов распределения с равными интервала приводит к формуле
где
Определим дисперсию по формуле, представив необходимые расчеты в таблице 23.2.
Таблица 23.2 – Расчет дисперсии способом моментов
Исчислим моменты первого и второго порядка:
Затем вычислим средний квадрат отклонений (дисперсию):
Пример 24 Удельный вес основных рабочих в трех цехах предприятия составил: 80, 75 и 90% общей численности рабочих. Определить дисперсию и среднее квадратическое отклонение доли основных рабочих по предприятию в целом, если численность всех рабочих трех цехов составила соответственно 100, 200 и 150 человек.
Решение Рабочие предприятия подразделяются на две группы: основные и ремонтно-вспомогательные рабочие. Общая численность основных рабочих по предприятию в целом составит:
Доля основных рабочих по предприятию
Дисперсия альтернативного признака составит
где
Поскольку
Среднее квадратическое отклонение доли основных рабочих по предприятию в целом:
Пример 25 Для изучения взаимосвязи между стажем работы и производительностью труда (часовой выработкой) произведена группировка рабочих, приведенная в таблице 25.1.
Таблица 25.1 – Группировка рабочих по стажу работы с указанием среднечасовой выработки продукции на одного рабочего
Определить: 1) среднюю часовую выработку продукции по каждой группе рабочих и по двум группам вместе; 2) дисперсию по каждой группе рабочих (групповые дисперсии) и среднюю из групповых дисперсий; 3) дисперсию групповых средних от общей средней (межгрупповую дисперсию); 4) общую дисперсию по правилу вложения дисперсий; 5) коэффициент детерминации; 6) эмпирическое корреляционное отношение.
Решение 1 Определим среднюю выработку по каждой группе рабочих и по двум группам:
2 Исчислим дисперсии по каждой группе рабочих по формуле:
Предварительно строим по каждой группе рабочих ряды распределения по выработке (таблицы 25.2 и 25.3). Затем исчислим групповые дисперсии.
Таблица 25.2 – Ряд распределения первой группы рабочих по выработке
Дисперсия для первой группы
Таблица 25.3 – Ряд распределения второй группы рабочих по выработке
Дисперсия для второй группы
Исчислим среднюю из групповых (частных) дисперсий по формуле
3 Межгрупповая дисперсия
4 Определим общую дисперсию по правилу сложения дисперсий
5 Определяем коэффициент детерминации
Коэффициент детерминации показывает, что вариация среднечасовой выработки рабочих обусловлена вариацией стажа лишь на 11,5%.
6 Исчислим эмпирическое корреляционное отношение
Оно показывает, что для данной группы рабочих связь между производственным стажем и среднечасовой выработкой незначительная.
Пример 26 Имеются данные о времени простоя автомобиля под разгрузкой (таблица 26.1).
Таблица 26.1 – Время простоя автомобиля под разгрузкой
Проверить закон сложения дисперсий.
Решение В данной задаче варьирующим признаком является время простоя автомобиля под разгрузкой. Общая дисперсия времени простоя под разгрузкой определяется по формуле
Для расчета общей дисперсии составляется дискретный ряд распределения, промежуточные расчеты представим в таблице 26.2.
Таблица 26.2 – Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии
Величина этой дисперсии характеризует вариацию времени простоя под разгрузкой под влиянием всех условий. Различия в величине изучаемого признака прежде всего возникают под влиянием числа грузчиков, принимающих участие в процессе разгрузки. В связи с этим в совокупности выделяются две однородные группы по числу грузчиков: в первую группу включаются наблюдения при числе грузчиков 3; во вторую группу попадают наблюдения при числе грузчиков 4. Для каждой из выделенных групп определяется внутригрупповая дисперсия, возникающая под влиянием неучтенных факторов. Для их расчета использованы вспомогательные таблицы 26.3 и 26.4.
Таблица 26.3 – Расчет внутригрупповой дисперсии по первой группе (число грузчиков, участвующих в разгрузке, – 3)
Таблица 26.4 – Расчет внутригрупповой дисперсии по второй группе (число грузчиков, участвующих в разгрузке, – 4)
Средняя из групповых дисперсий Межгрупповая дисперсия, отражающая различия в величине признака под влиянием фактора, положенного в основу группировки, определяется по формуле Общая дисперсия (
что и соответствует полученной ранее величине.
Пример 27 Имеются данные о результатах обследования рабочих предприятия по размеру месячной заработной платы (таблица 27.1).
Таблица 27.1 – Информация о численности рабочих по возрасту и размере заработной платы
Общая дисперсия заработной платы в обследованной совокупности рабочих составила 450. Определить, в какой степени вариация заработной платы рабочих предприятия зависит от возраста.
Решение Средняя внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию под влиянием неучтенных факторов Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию под влиянием фактора, положенного в основу группировки (возраста рабочих). Межгрупповая дисперсия определяется по правилу сложения дисперсий Отсюда соотношение дисперсий
Полученный результат показывает, что возраст на варьирование заработной платы рабочих предприятия не оказывает существенного влияния.
Пример 28 Дисперсия признака равна 600. Объем совокупности равен 10. Сумма квадратов индивидуальных значений признака равна 6250. Найти среднюю величину.
Решение Для нахождения средней величины воспользуемся формулой
где
Тогда Средняя величина признака
Тема 5. Индексы
Пример 29 Имеются данные по одному из магазинов (таблица 29.1).
Таблица 29.1 – Объем реализации тканей по магазину
Определить: 1 Индивидуальные индексы физического объема, цен. 2 Сводные индексы объема реализации, цен и товарооборота. 3 Абсолютное изменение товарооборота общее и в результате изменения цен и физического объема реализованных товаров. Сделать выводы.
Решение 1 Рассчитаем индивидуальные индексы физического объема и цен. Индивидуальный индекс физического объема (
Индивидуальный индекс цен (
2 Рассчитаем сводные индексы физического объема, цен и товарооборота. Сводный индекс физического объема
Сводный индекс цен
Сводный индекс товарооборота
или
3 Абсолютное изменение товарооборота (
Абсолютное изменение товарооборота (
Абсолютное изменение товарооборота (
Следовательно, товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным вырос на 22% или на 22,78 тыс. руб. Это произошло за счет влияния двух факторов: - за счет роста цен товарооборот вырос на 22,4% или на 22,14 тыс. руб.; - за счет изменения объема реализованных товаров товарооборот снизился на 0,4% или на 0,36 тыс. руб.
Пример 30 Имеются данные о продаже товаров в торговых предприятиях района (таблица 30.1).
Таблица 30.1 – Объем товарооборота торговых предприятий района
Определить: 1) изменение цен на проданные товары (индекс цен); 2) общий индекс товарооборота; 3) общий индекс физического товарооборота.
Решение 1 Общий индекс цен вычислим в форме среднего гармонического индекса
где Определим индивидуальные индексы цен: обувь 100 + 12 = 112% трикотаж 100 + 5 = 105% изделия из кожи 100 + 2 = 102% Таким образом: Сумма перерасхода, полученная населением от повышения цен, составит 155 – 144 = + 11 тыс. руб.
2 Общий индекс товарооборота составит
3 Общий индекс физического объема товарооборота составит
Между вычисленными индексами существует взаимосвязь:
Пример 31 Имеются данные по одной из кондитерских фабрик (таблица 31.1).
Таблица 31.1 – Затраты на производство продукции кондитерской фабрики
Определить абсолютное изменение затрат на производство продукции за счет изменения физического объема и себестоимости произведенной продукции.
Решение Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения физического объема продукции (
Из формулы
Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения себестоимости (
Следовательно, за счет роста объема произведенной продукции на 9,8% затраты на производство продукции выросли на 7,73 тыс. ден. ед., однако снижение цен на 5,5% способствовало снижению затрат на 4,73 тыс. ден. ед. Пример 32 Имеются данные о производстве продукции и затратах времени на ее производство (таблица 32.1).
Таблица 32.1 – Объем производства продукции за базисный и отчетный год и затраты времени на ее производство
Определить индекс производительности труда.
Решение Индекс производительности труда рассчитывается по формуле
где
Трудоемкость рассчитывается по формуле
где
Трудоемкость за отчетный период равна
Трудоемкость за базисный период равна
Таким образом
Пример 33 Динамика себестоимости и объема продукции характеризуется данными, представленными в таблице 33.1.
Таблица 33.1 – Объем произведенной продукции по заводам за базисный и отчетный периоды
Определить: 1) индекс себестоимости переменного состава; 2) индекс себестоимости постоянного состава; 3) индекс изменения структуры.
Решение 1 Индекс себестоимости переменного состава (индекс среднего уровня) рассчитывается по формуле
Индекс показывает, как изменилось среднее значение показателя за счет двух факторов (изменения самой себестоимости на отдельном заводе и изменений в структуре выработанной продукции).
2 Индекс себестоимости постоянного (фиксированного) состава рассчитывается по формуле
Индекс показывает, как изменилось среднее значение показателя за счет изменения первого фактора (себестоимости).
3 Индекс структурных сдвигов рассчитывается по формуле
Индекс показывает, как изменилось среднее значение показателя за счет изменения второго фактора (объема произведенной продукции).
Между этими индексами существует связь:
Следовательно, среднее значение себестоимости по двум заводам в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилось на 16%. За счет изменения себестоимости единицы продукции по отдельным заводам среднее значение себестоимости по двум заводам увеличилось на 14%. За счет изменений в структуре объема выработанной продукции среднее значение себестоимости увеличилось на 2%.
Пример 34 Расходы консолидированного бюджета Республики Беларусь на социально-культурные мероприятия представлены в таблице 34.1.
Таблица 34.1 – Расходы консолидированного бюджета Республики Беларусь на социально-культурные мероприятия
Рассчитать территориальный индекс цен на эти виды расходов в городе А по сравнению с городом Б.
Решение Территориальный индекс цен, в котором в качестве базы сравнений принимаются данные по городу А (
где
Суммируем объем расходов в разных городах по каждому виду:
Рассчитаем территориальный индекс цен:
Таким образом, цены на расходы в городе А ниже на 15,7% по сравнению с ценами в городе Б.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|