 |
Поперечное и продольное распределение температуры воды
|
|
|
|
Оценим поперечное распределение температуры воды для условий, когда изменение температуры воды по длине потока стационарно и неизменно, течение установившееся и равномерное, поперечные и вертикальные составляющие осредненной скорости равны нулю. Указанные условия означают, что процессы адвекции тепла на локальном участке реки отсутствуют и, следовательно, уравнение теплопроводности (3.8) имеет вид
(3.18)
Аналитическое решение этого уравнения в общем случае отсутствует. Оно появляется при использовании полученного выше теоретического распределения температуры воды по глубине потока. Такой подход (по аналогии с методом плоских сечений при построении поля скоростей на участке реки) можно назвать «1,5D», так как решение производится «одномерными» методами (Великанов, 1954).
Распределение температуры воды в поперечном сечении потока можно рассматривать с двух взаимосвязанных позиций: распределение поверхностной температуры воды по ширине потока и распределение температуры воды по всей площади поперечного сечения. Пусть распределение поверхностной температуры воды не зависит от распределения температуры воды и скорости по глубине потока. В этом случае, уравнение (3.18) приобретает вид:
(3.19)
Решение этого уравнения дает распределение поверхностной температуры воды по ширине потока. Для решения воспользуемся схемой обозначений для прямоугольного сечения русла (рис. 3.2), где В- ширина реки b = B /2 – половина ширины реки, z – расстояние от берега, y – отметка горизонта воды от дна, h – глубина потока. Использование прямоугольной схематизации русла позволяет предположить, что распределение температуры воды в поперечном сечении такой формы при прочих равных условиях симметрично, тепловое влияние обоих берегов – одинаково, влияние поверхностей раздела «вода – воздух» и «вода – ложе» также одинаково по всей ширине потока. В этом случае можно рассматривать распределение температуры воды только для одной, например, правой половины русла (считая распределение температуры в левой половине русла симметричным). В центре потока значения температуры максимально отличаются от прибрежной температуры воды.
|
|
|
В естественных условиях русло чаще бывает несимметричным. Поэтому заменим b на b п – расстояние от берега до «середины» потока (точки, в которой температура воды максимально отличается от прибрежной), а координату z в уравнении (3.19) – на относительное удаление от берега z / b п = 
(Гончаров, 1962).
Рис. 3.2. Схема принятых обозначений для прямоугольной формы поперечного сечения русла
В этом случае решение уравнения (3.19) (с учетом коэффициента турбулентной диффузии по уравнению (3.11)) имеет вид:
(3.20)
При замене a 1 = С/g = 427 м/0К
(3.21)
где константа интегрирования q1 n равна поверхностной температуре воды на середине потока, а q2 n – разность поверхностной температуры воды у берега qб n и в центральной части русла q1 n т.е. q2 n = qб n – q1 n. Показатель степени в уравнении (3.21) должен включать знак «минус» для воспроизводства экспоненциальной функцией реального распределения температуры воды по ширине потока
. (3.22)
В соответствии этой формулой, распределение температуры воды в поперечном сечении потока зависит от изменения глубины в поперечном сечении потока и коэффициента шероховатости русла.
А.В. Караушев предложил формулу (3.11) для описания распределения величины коэффициента турбулентной диффузии 
по глубине потока (Караушев, 1969 и др.). В последствие оказалось, что она вполне приемлема для решения и других задач, если использовать среднее значение 
на вертикали, в сечении или на участке реки. В этом случае в формуле (3.11) используются осредненные характеристики скорости, глубины и коэффициента шероховатости. Во многих случаях принимается справедливым условие постоянства этого коэффициента по всем координатным направлениям, хотя ближе к действительности условие 
(Караушев, 1977).
|
|
|
Практика показала, что амплитуды изменений температуры воды в поперечном сечении потока на средних и малых реках в естественных условиях малы. Вследствие этого, использование приближенного коэффициента 
по уравнению (3.11) не всегда оправданно. В этих случаях более точную оценку коэффициента турбулентной диффузии в поперечном сечении потока можно получить по уравнению (Bansal, 1971):
, (3.23)
где B / h – относительная глубина, v * – динамическая скорость. Ее величина
(3.24)
где I – уклон,‰. Преобразуем формулу (3.23) для получения выражения для расчета коэффициента турбулентной дисперсии в явном виде. Для этого запишем член -2,7, как lg0,002, а последний член – lg[(B/h)1,5], тогда
. (3.25)
Таким образом, коэффициент турбулентной дисперсии зависит от глубины и ширины потока, а также от величины его уклона. Подставляя значение DTy,z в уравнение (3.19), получаем:
(3.26)
Объединив сомножители при втором члене уравнения (3.26), используя для этого формулы Шези и (3.24), в коэффициент a 2 получаем выражение:
(3.27)
которое можно использовать для характеристики поперечного распределения температуры воды.
Продольное распределение температуры воды рассмотрим при некоторых условиях. Пусть изменение температуры воды по длине потока стационарно и неизменно, течение установившееся и равномерное, поперечные и вертикальные составляющие осредненной скорости равны нулю. Кроме того, будем считать, что вертикальных и поперечных градиентов температуры воды нет или они несущественны в сравнении с продольными градиентами. В этом случае уравнение турбулентной теплопроводности принимает вид (3.28).
(3.28)
|
|
|
Решение этого уравнения имеет вид
(3.29)
где 
- температура верхнего поперечного сечения данного участка реки, 
- разница между температурой нижнего и верхнего сечений данного участка реки.
Уравнение турбулентной теплопроводности является дифференциальной формой записи уравнения теплового баланса. Его использование в описаниях распределения температуры по глубине, ширине и длине потока соответствует смыслу использования операций дифференцирования, при стремлении к нулю изменений пространственных и временных координат (Арнольд, 1966). При большой длине участков рек и значительных интервалах времени, разделяющих начальное и конечное состояние водного потока, использование дифференциального уравнения утрачивает физический смысл. Для таких участков рек изменение теплосодержания и температуры воды характеризует уравнение теплового баланса, записанное в алгебраической форме (см. разд. 2.1). В этом случае изменение теплосодержания водной массы и средней температуры воды на участке реки во времени равно результирующей приходных и расходных составляющих потоков тепла, осредненных по длине расчетного участка.
|
|
|
