Понятие двойственности в линейном программировании. Правила построения двойственных задач

Z^*=b₁y₁+b₂y₂+...+b_ny_n (2.70)

при условиях

(2.71) y_i ³ 0 (2.72)

называется двойственной по отношению к задаче (2.67) — (2.69).

Двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам:

1. Целевая функция исходной задачи (2.67) — (2.69) задается на максимум, а целевая функция двойственной (2.70) — (2.72) — на минимум.

2. Матрица

,

составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (2.68) исходной задачи, и аналогичная матрица

в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием.

3. Число переменных в двойственной задаче равно числу соотношений в системе (2.70) исходной задачи, а число ограничений в системе (2.71) двойственной задачи — числу переменных в исходной задаче.

4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции (2.70) двойственной задачи являются свободные члены в системе (2.68) исходной задачи, а правыми частями в соотношениях системы (2.71) двойственной задачи — коэффициенты при неизвестных в целевой функции (2.67) исходной задачи.

5. Если переменная х_j исходной задачи может принимать только лишь положительные значения, то j- е условие в системе (2.71) двойственной задачи является неравенством вида «³». Если же переменная х_j может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то j -е соотношение в системе (2.71) представляет собой уравнение. Аналогичные связи имеют место между ограничениями (2.68) исходной задачи и переменными двойственной задачи. Если i- е соотношение в системе (2.68) исходной задачи является неравенством, то i- я переменная двойственной задачи y_i ³0. В противоположном случае переменная y_i может принимать как положительные, так и отрицательные значения.