Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Определение выпуклой и вогнутой функции

Функция f(x₁, x₂,..., x_n), заданная на выпуклом множестве X, называется выпуклой, если для любых двух точек X₁ и X₂ из X и любого 0£ l £1 выполняется соотношение

Функция f(x₁, x₂,..., x_n), заданная на выпуклом множестве X, называется вогнутой, если для любых двух точек X₁, X₂ из X и любого 0£ l £1 выполняется соотношение

Если f (X) — выпуклая функция, то –f (X) — вогнутая функция, и наоборот.

Общая постановка задачи выпуклого программирования. Теорема о существовании решения задачи ВП(формулировка)

Постановка задачи выпуклого программирования.

Рассмотрим задачу нелинейного программирования:

f (x₁, x₂,..., x_n)®max(min) (1)

g_i (x₁, x₂,..., x_n)£b_i (i=1,..., m), (2)

x_i³0 (j=1,..., n), (3)

ОДЗ (2) обладает свойством регулярности, если найдется такой вектор х_к, что функции g_i (х_к)£ b_i (i=1,..., m) ЗНЛП наз-ся задачей выпуклого программирования, если функция (1) либо выпукла, либо вогнута, а все функции g_i выпуклы.

Теорема:любой локальный экстремум задачи ВП является глобальным. (глоб – экстремум на всей ф-ии, лок – экстремум на отрезке ф-ии)

Седловая точка функции Лагранжа.

Функция Лагранжа L:

L(x₁, x₂,..., x_n, y₁, y₂,..., y_m)= f(x₁, x₂,..., x_n) +

(только для ЗВП, для других нет смысла)

Седловая точка функции Лагранжа – это вектор [X⁽⁰⁾, Y⁽⁰⁾]:

L(, ) <= L(, ) <= L(, )

Теорема Куна-Таккера (формулировка)

Для задачи выпуклого программирования, множество допустимых решений которой обладает свойством регулярности, план X⁰ тогда и только тогда является оптимальным решением, когда существует такой вектор У⁰ (у⁰_i>=0, i=1,m), такой что точка (X⁰, У⁰) — седловая точка функции Лагранжа. Она ведет к системе аналитических уравнеий.

Определение сепарабельной функции.

Функция f (x₁,x₂,…,x_n) наз-ся сепарабельной, если она может быть представлена в виде суммы функций, каздая из которых зависит только от одной переменной:

то есть заменяем функцию ломанными линиями

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 67