Теоретико-множественный смысл разности

В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел было оп­ределено как операция, обратная сложению:

а - b= с <=> ($ÎN)b+ с =a

Вычитание целых неотрицательных чисел определяется аналогично. Выясним, каков смысл разности таких чисел, если а = n(А), b=n(В).

Теорема 3. Пусть А - конечное множество и В - его собственное подмножество. Тогда множество А\В - тоже конечно, причем выпол­няется равенство n(А\В) = n(А) -n(В)

Рис. 112

Доказательство. Так как по условию В - соб­ственное подмножество множества А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить так, как на рисунке 112. Разность А\В на этом рисунке за­штрихована. Видим, что множества В и А\В не пересекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти по формуле n(А) = n(В) + n(А\В), откуда, по определению вычитания как операции, обратной сложению, получаем, что n(А\В) = n(А) -n(В).

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множествен­ных позиций разность натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В до множества А, если а = n(А), b=n(В) и ВÌА.

а – b = n(А) -n(В) = n(А\В), если ВÌА.

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а.

Так как А \ Æ= А, А \ А =Æ, то а - 0 = а и а - а = 0.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи вычитания: «У школы росло 7 деревьев, из них 4 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревьев, множество В берез, оно является подмножеством множества А; и множество С лип - оно представляет собой дополнение множества В до А. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении.

Так как по условию n(А) = 7, n(В) = 4 и ВÌА, то n(С) = n(А\В) = n(А) -n(В) = 7 – 4.

Разность 7 - 4 - это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 7 -- 4 = 3. Следовательно, у школы росло 3 липы.

Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Выясним, например, теоретико-множественный смысл правила: «Если а. b, с - натуральные числа и а > с, то (а +b) - с = (а - с) +b».

Пусть А, В и С - такие множества, n(А) = а,n(В) =bи АÇВ =Æ, СÌА (рис. 113). Нетрудно доказать, что для данных множеств А, В имеет место равенство (АÈВ) \ С = (А\С)ÈВ.

Но n((АÈВ) \ С) =n(АÈВ) –n(С) = (а +b) – с, аn((А\С)ÈВ) =n(А\С) +n(В) – (а – с) +b.

И следовательно (а + b) - с = (а - с) +b

С теоретико-множественной позиции можно рассмотреть и смысл отношений «больше на» и «меньше на».

В аксиоматической теории определение отношения «меньше на» («больше на») естественным образом вытекает из определения отношения «меньше». Действительно, из того, что а < bтогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с =b, имеем, что «а меньшеbна с» или «bбольше а на с».

Если n(А) = а,n(В) =bи установлено, а <b, то. исходя из теоретико-множественного смысла отношения «меньше», в множестве В можно выделить собственное подмножество В₁, равномощное множеству А, и непустое множество В\В₁. Если число элементов в множестве В\В₁. обозначить через с (с¹0), то в множестве В будет столько же элементов, сколько их в А, и еще с элементов:

n(В) =n(В) +n(В\ В₁.) илиb= а + с, что означает, что «а меньшеbна с» (или «больше а на с»). Итак, с теоретико-множественной точки зрения «а меньшеbна с» (или «bбольше а на с») означает, что еслиn(А) = а,n(В) =b, то в множестве В содержится столько элементов, сколько их в А, и еще с элементов.

Так как с= п(В\В ₁ ). где В ₁ Ì В, n(В) = b, n(В ₁) = а, то, по опреде­лению разности, с = а - b. Следовательно, чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вы­честь меньшее.

Взаимосвязь действии над множествами с действиями над числами, теоретико-множественный смысл отношений «меньше на» и «больше на» позволяют обосновывать выбор действий при решении задач с этими отношениями.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 больше. Сколько на столе ложек?» Легко видеть, что она решает­ся при помощи сложения. Почему?

В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и мно­жестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. п(А) = 5. Число элементов во втором множестве требуется найти при условии, что в нем на 2 элемента больше, чем в первом. Отношение «больше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А. и еще 2 элемента (рис. 114). Применимо к тем множе­ствам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, и еще 2. Используя правило подсчета элементов в объединении непересекающихся множеств, получаем: п(В) = п(В ₁ ) + п(В\ В₁) =5+2. Так как 5 + 2 = 7, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 7 ложек.

О О О О О

Х Х Х Х Х Х Х