Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Аффинность k – симплексов.

Если даны два произвольных k – симплекса и , то системы их вершин определяют аффинное преобразование, переводящее первую из этих систем вершин во вторую.

Так как при аффинном преобразовании плоскости переходят в плоскости, это аффинное преобразование переводит весь k – симплекс в k – симплекс . Поэтому всякие два k – симплекса аффинны.

Относительный объем k – симплекса, определяемого уравнением (8.1) при = , где , выражается по формуле при аффинном преобразовании с оператором умножается на определитель матрицы оператора , получаем, что при аффинном преобразовании относительные объемы всех k – симплексов умножаются на определитель матрицы этого аффинного преобразования, т.е. если k – симплекс с относительным объемом переходит при аффинном преобразовании с матрицей в k – симплекс с объемом , то, так же как в случае k – параллелепипедов,

= . (8.9)

Отсюда вытекает, что отношения объемов k – симплексов не изменяются при аффинных преобразованиях.

Правильный k – симплекс

Определение правильных многоугольников и многогранников позволяет определить правильный k – симплекс.

Прежде всего построим правильный k – симплекс. Правильный k – симплекс при = 2 – равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник с центром в начале координат и со стороной на прямой имеет вершины в точках с координатами , и .

Рис. 29

Для построения правильного k – симплекса с центром в начале системы прямоугольных координат и с гранью на плоскости предположим, что мы построили аналитичный правильный - симплекс.

Так как центр О k – симплекса делит отрезок прямой между точкой и плоскостью в отношении : 1, а прямая совпадает с -ой координатной осью, вершина имеет координаты (0, 0, 0, … ); -е координаты вершин равны – 1, а первые -1 координаты этих вершин можно получить из координат вершин ( -1) - симплекса умножением их на такой множитель , чтобы все расстояния , , …, = =

Расстояние от центра построенного - симплекса до его ( -1) – граней равно 1, а расстояние от того же центра до вершин этого - симплекса равно . Длина каждого из ребер этого - симплекса равна .

Из определения правильного - симплекса видно, что все - грани правильного - симплекса являются правильными - симплексами.

Рис.30

На рисунке изображен правильный ( -1) – симплекс ( = 4)

Объем правильного - симплекса.

Вычислим объем построенного правильного симплекса. Так как объем основания этого - симплекса равен произведению , а высота этого - симплекса равна +1, получаем, что

При = 2 формула дает нам .

При = 3 формула .

Объем правильного - симплекса, ( -1) – грани которого находятся на расстоянии от его центра, равен

§ 9. K -шары в пространстве

Называть k -мерной сферой евклидова k -пространства или k-сферой этого пространства множество всех точек этого пространства, лежащих в одной (k + 1)-плоскости и отстоящих от данной точки, называемой центром k-сферы, на одном и том же расстоянии, называемом радиусом k-сферы.

При k = n – 1 k -сфера определяется как множество всех точек пространства, отстоящих от одной точки на одном и том же расстоянии: в дальнейшем, говоря «сфера», будем иметь в виду (n – 1)-сферу. При k = 1, k -сфера называется окружностью.

Если радиус (k – 1)-сферы равен R, то множество всех точек k -плоскости этой (k – 1)-cферы, находящихся от центра (k – 1)-cферы на расстоянии , называется k -шаром. При k = n n -шар определяется как множество всех точек n -пространства, отстоящих от центра сферы на расстоянии . В дальнейшем, говоря «шар», будем иметь в виду n -шар. При k = 2 k -шар называется кругом.

Если центр сферы – точка М ₀(х ₀), а радиус равен R (рис. 31), радиус-вектор х произвольной точки М сферы связан условием, состоящим в том, что расстояние М ₀ М равно R. Так как это расстояние равно модулю вектора , т. е. , то уравнение сферы с центром в точке М _0,и радиусом R имеет

(9. 1)

или, после возведения обеих частей уравнения (9. 1) в квадрат

(9. 2)

Рис. 31

Уравнению (9. 2) не удовлетворяет радиус-вектор ни одной точки, для которой расстояние М ₀ М не равно R, так как и расстояние М ₀ М и радиус R – положительные числа.

Уравнение (9. 2) называется векторным уравнением сферы. Это уравнением сферы. Это уравнение является частным случаем векторного уравнения поверхности. Поэтому сфера является частным случаем уравнения поверхности, так как k -сферу можно рассматривать как сферу в (k + 1)-пространстве.

Так как k -сфера с центром в точке М ₀(х ₀) и радиусом в некоторой (k + 1)-плоскости является пересечением сферы с тем же центром и радиусом с указанной (k + 1)-плоскостью, уравнениями k -сферы является уравнение (9. 2) сферы с тем же центром и радиусом и уравнения (k + 1)-плоскости.

Если центр сферы находится в начале, х ₀=0, то уравнение (9. 2) примет вид

(9. 3)

Уравнение (9. 2) можно переписать в виде

(9. 4)

или, умножая обе части этого равенства на число а, в виде

(9. 5)

Вектор и число с в уравнении (9. 5) связаны с радис-вектором х ₀ центра сферы и её радиусом R соотношениями

, (9. 6)

Поэтому, если дано уравнение (9. 5) сферы, то центр и радиус этой сферы определяются соотношениями.

, (9. 7)

Уравнение (9. 5) при а = 1, т. е. уравнение

(9. 8)

называется нормальным уравнением сферы. В случае нормального уравнения сферы соотношения (9. 7) показывает, что, для того чтобы уравнение (9. 5) было уравнением сферы, необходимо выполнение неравенства

(9. 9)

В случае, когда , уравнению (9. 5) удовлетворяет только одна точка М ₀(х ₀), которую можно рассматривать как сферу нулевого радиуса. Для того, чтобы общее уравнение второй степени было бы уравнением сферы, необходимо выполнение неравенства, равносильного неравенству (9. 9).

Геометрия k -сфер

1. Уравнение k -сфер

Определим k -сферы как пересечения сферы с (k +1)-плоскостью. Так как (k +1)-плоскость в свою очередь является пересечением n – k – 1 плоскостей, а каждая из этих плоскостей может быть заменена такой сферой, что указанная плоскость является радикальной плоскостью для этой сферы и данной сферы, k -сфера является пересечением n – k независимых сфер. Поэтому k – сферу можно задать n – k – уравнениями

В этом случае произвольная сфера, проходящая через данную k -сферу, определяется уравнением

(9. 10)

При k = n – 2 совокупность сфер с уравнениями вида (9. 10) составляет пучок сфер.

Если даны две сферы

, ,

то совокупность сфер с уравнениями

называется пучком сфер,

содержащем две сферы.

Уравнение при является уравнением плоскости.

Взаимное расположение двух k -сфер

Две k -сферы k -пространства без общих точек будем называть зацепленными, если всякая сфера, проходящая через одну из этих k -сфер, пересекается со всякой сферой, проходящей через другую k -сферу. Будем называть две k -сферы k -пространства без общих точек незацепленными, если существуют непересекающиеся сферы, проходящие через эти k -сферы.

На рисунке изображены различные виды взаимного расположения двух окружностей в 3-пространстве.