Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Примеры к контрольной работе № 2

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Примеры к контрольной работе № 2

Какие из следующих функций являются бесконечно малыми, бесконечно большими при (правило 2):

а) ;

имеет конечный предел при .

б) является бесконечно большой при .

в) является бесконечно малой при .

Найти пределы функций. Пользуемся правилами 1, 2, 3, 4, 5.

а) , так как , , , .

б) .

При этом разложим квадратный трёхчлен в числителе на множители

, где и – корни, , ;

; ; .

В знаменателе , т. к. .

в) = Пусть , , =

г) Пусть , , =

Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертёж.

– определена и непрерывна на всей числовой оси. Она может иметь разрывы в точках и . Найдем односторонние пределы (слева и справа) в этих точках.

; ; ; . Левый и правый пределы конечные, но не равны между собой; имеет в точке конечный разрыв скачок равен .

; ; ; . Пределы слева и справа конечны и равны . В точке – непрерывна.

Задания к контрольной работе № 2

Содержит 3 контрольных задания:

1) Какие из следующих функций являются бесконечно малыми и бесконечно большими при .

2) Найти пределы функции.

3) Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

№ вар-та	Задания	№ вар-та	Задания
	1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) . 3)		1) а) ; б) ; в) . 2. а) ; б) ; в) ; г) . 3)
	1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) . 3)		1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) . 3)
	1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) 3)		1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) 3)
	1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) 3)		1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) . 3)
	1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) . 3)		1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) . 3)

Контрольная работа № 3

Тема: Производные

Основные методические указания

1. Таблица основных производных

, – функции от х

с, а, const – постоянные числа,

1–1) ;

1–2)



1–3)



1–4)



1–5)

1–6)

1–7)



1–8)



1–9)

1–10)

1–11)

1–12)

2. Основные правила дифференцирования

2–1)

2–2)

2–3) (с – число)

2–4)

3. Производная функции, заданной параметрически

3–1)

4. Производные высших порядков , и так далее

Чтобы найти производную второго порядка , надо сначала найти первую производную и затем найти производную от полученной функции.

Примеры нахождения производных

1. ;

Применяем формулы 2–3, 1–3

,

2.

Применяем формулы 1–2, 1–8

3. ;

Применяем формулы 2–2, 1–2, 1–11

;

4.

Применяем формулы 2–4, 2–1, 1–7, 1–4

5.

Применяем формулы 3–1, 1–3, 1–5, 1–7, 1–2

;

6.

Найдем :

Применяем формулы 1–1, 1–2, 2–1

Применяем формулы 2–2, 2–3, 2–1, 1–1, 1–2

Задания к контрольной работе № 3

Контрольная работа содержит 6 заданий. В заданиях 1–5 надо найти производные функции , в задании 6 – найти вторую производную .

№ вар-та Задания № вар-та Задания

1) ;     2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 1) ; 2) 3) ; 4) ; 5) ;   6)

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

Контрольная работа № 4

Исследование функций с помощью производных.

Контрольная работа №4 содержит 2 контрольных задания.

Краткая теория и методические указания для решения.

1. Правило Лопиталя для нахождения пределов функций в случае неопределенностей вида или .

         Пусть функция и при (или ) совместно стремятся к нулю или бесконечности. Если отношение их производных имеет предел, то отношение самих функций также имеет предел, равный пределу отношений производных, т. е.

         пусть



         или



         Тогда



     Если после первого применения правила Лопиталя получим опять или , то правило Лопиталя можно применить повторно.

2. Общий план исследования функции и построение графика

При исследовании функции рекомендуется все результаты, полученные в каждом разделе плана наносить на координатную плоскость после каждого раздела.

I. Общая характеристика функции:

1. Область определения .

2. Характеристика функции (четность, нечетность).

3. Непрерывность функции. Точки разрыва.

4. Точки пересечения графика функции с осями координат

(входит в область определения).

5. Асимптоты.

1) Вертикальные асимптоты связаны с точками бесконечного разрыва – вертикальная асимптота, если при .

2) Наклонные асимптоты: , , .

Полученные точки и асимптоты нанести на координатную плоскость.

II. Исследование функции на возрастание, убывание, экстремумы.

1. Находим производную .

2. Определяем точки, где или не существует.

3. Откладываем полученные точки на числовой оси и определяем знак производной на каждом полученном интервале (для этого на каждом интервале можно взять любое значение х, подставить его в производную и определить знак результата).

4. Определяем участки возрастания и убывания функции (по знаку ).

– функция возрастает

– функция убывает

5. Определяем точки экстремума – точки, где и при переходе через эту точку производная меняет свой знак.

                                          – максимум                         – минимум

Вычисляем значение функции в полученных точках – экстремумы функции.

Точки экстремума нанести на координатную плоскость, сделать схематический график.

III. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

1. Находим вторую производную

2. Определяем точки, где вторая производная равна нулю или не существует .

3. Откладываем полученные точки на числовой оси и определяем знак второй производной на каждом полученном интервале (аналогично определению знака первой производной).

4. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости функции (по знаку второй производной).

– функция вогнутая

– функция выпуклая

5. Определяем точки перегиба – точки, где и при переходе через эту точку меняет знак (выпуклость меняется на вогнутость и наоборот). Вычисляем значения функции в точках перегиба.

Точки перегиба нанести на схематический график и показать на графике выпуклость и вогнутость.

IV. Строим график.

Примеры решения заданий контрольной работы №4

Задание 1. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя