Применение производных к исследованию свойств функций
⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Определение: Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. . Так как при имеем , то определение производной можно записать в виде: . При вычислении производной функции, необходимо помнить следующие правила дифференцирования: Сводная таблица формул дифференцирования
Производная функции так же применяется при вычислении пределов функций. Правило ее применения сформулировано в следующей теореме. Теорема (правило Лопиталя). Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций (неопределенность вида ) равен пределу отношения их производных: если предел справа существует. Пример 1. Используя правило Лопиталя, вычислить предел функции: 1) 2) Решение. 1) Подстановка предельного значения аргумента х = 2 приводит к неопределённости вида 0/0. Раскроем ее с помощью правила Лопиталя: Однократное применение правила Лопиталя не приводит к раскрытию неопределенности (по прежнему получаем ), поэтому применим его еще раз: Таким образом, в результате двукратного применения правила Лопиталя находим, что искомый предел равен 5. 2) Убедившись, что имеет место неопределенность вида , применим правило Лопиталя: Применение производных к исследованию свойств функций Определение. Если в некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство f(x) < f(x0) или f(x) > f(x0), то точка x0 называется точкой экстремума функции f(x) (соответственно точкой максимума или минимума).
Необходимое условие существования экстремума: если x0 экстремальная точка функции f(x), то первая производная равна либо нулю, либо бесконечности, либо не существует. Достаточное условие существования экстремума: x0 является экстремальной точкой функции f(x), если ее первая производная меняет знак при переходе через точку x0: с плюса на минус – при максимуме, с минуса на плюс – при минимуме. Определение. Точка x0 называется точкой перегиба кривой y = f(x), если при переходе через точку x0 меняется направление выпуклости. Необходимое условие существования точки перегиба: если x0 точка перегиба кривой y = f(x), то вторая производная равна либо нулю, либо бесконечности, либо не существует. Достаточное условие существования точки перегиба: x0 является точкой перегиба кривой y = f(x), если ее вторая производная меняет знак при переходе через точку x0. Определение. Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой кривой y = f(x), если расстояние от точки (x;f(x)) кривой до этой прямой стремится к нулю при . При этом При k = 0 имеем горизонтальную асимптоту: y = b. Если то прямая x = a называется вертикальной асимптотой. Общая схема исследования функции и построения ее графика I. Элементарное исследование: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на симметричность и периодичность; 3) вычислить предельные значения функции в ее граничных точках; 4) выяснить существование асимптот; 5) определить, если это не вызовет больших затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями; 6) сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты. II. Исследование графика функции по первой производной: 1) найти решения уравнений не существует; 2) точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;
3) вычислить значения функции в точках экстремума; 4) найти интервалы монотонности функции; 5) нанесите на эскиз графика экстремальные точки; 6) уточнить вид графика функции согласно полученным результатам. III. Исследование графика функции по второй производной: 1) найти решения уравнений не существует; 2) точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточного условия; 3) вычислить значения функции в точках перегиба; 4) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции; 5) нанесите на эскиз графика точки перегиба; 6) окончательно построить график функции. Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласоваться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить найденные ошибки. Пример 1. Исследовать на экстремум функцию Решение. Находим первую производную: Из уравнений и получаем точки, «подозрительные» на экстремум: Исследуем их, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки. Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака :
В первой строке указаны интервалы, на которые область определения функции разбивается точками х 1, х 2, х 3, и сами эти точки. Во второй строке указаны знаки производной в интервалах монотонности. В третьей строке приведено заключение о поведении функции. Исследуемая функция, как следует из таблицы, имеет минимум в точке Точки х = –1 и х = 0 не являются точками экстремума, так как в первой точке функция не определена, а в окрестности второй точки первая производная сохраняет знак.
Пример 2. Найти асимптоты графика функции Решение. Точка х = –1 является точкой разрыва функции. Так как , то прямая х = –1 служит вертикальной асимптотой графика функции. Ищем наклонные асимптоты , используя формулы Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид . Пример 3. Построить график функции используя общую схему исследования функции. Решение. I. Область определения: (–¥, –1), (–1; +¥). Функция не является симметричной и периодической. Находим предельные значения функции:
График функции имеет одну вертикальную асимптоту х = –1 и одну наклонную асимптоту (см. пример 3.4.). Он пересекает координатные оси в точке (0; 0). II. Функция имеет один минимум при х = –3. (см. пример 3.3.). III. Вторая производная обращается в бесконечность при х = –1 и равна нулю в точке х = 0, которая является единственной точкой перегиба (см. таблицу):
Учитывая полученные результаты, строим график функции (рисунок 1).
Пример 4. Найти первую производную функции , заданной параметрически: Решение. Дифференцируем х (t) и y (t) по параметру t: . Искомая производная от у по х равна отношению производных от y (t) и от x (t) по t:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|