Генеральная и выборочные совокупности.

Изложенные выше методы дают возможность достаточно полно охарактеризовать биологические совокупности. Каждая совокупность может быть представлена в виде ряда распределения значений изучаемого в совокупности признака. Для ряда распределения можно определить статистические показатели, указывающие на наиболее типичный уровень признака и на степень вариации (разброса) отдельных единиц совокупности вокруг этого уровня. Это статистические показатели, выраженные одним значением (точечные оценки): математическое ожидание (среднее арифметическое), дисперсия, среднее квадратическое отклонение и интервальные оценки для заданного уровня вероятности. Так как все эти показатели – статистические величины, т.е. основаны на изучении массовых явлений, возникает очень важный теоретический и практический вопрос – насколько они достоверны. Проблема достоверности занимает важное место в статистике. В рассмотренных примерах мы изучали так называемые выборочные совокупности. Так, для исследования распределения студентов по возрасту взята выборка из 100 человек первого курса. Можно было исследовать выборки, состоящие из 200, 300 и т.д. человек. Наиболее общую совокупность, подлежащих изучению объектов называют генеральной. В пределе она может рассматриваться как состоящая из бесконечно большого количества единиц. Изучить такую совокупность на практике не представляется возможным. Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности, то есть должна быть репрезентативной (представительной). Выборка считается репрезентативной, если каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, то есть все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. В какой же мере выборочные совокупности отражают свойства генеральной совокупности? Как генеральная, так и выборочные совокупности характеризуются одинаковыми закономерностями случайной вариации, которые можно описать статистическими показателями: средней арифметической величиной и средним квадратическим отклонением. Пусть средняя арифметическая генеральной совокупности обозначается m, среднее квадратическое отклонение – s, соответствующие параметры выборки – и s. Предположим, для изучения среднего возраста у студентов первого курса мы взяли 5 групп. Средние арифметические этих выборок образуют свой ряд распределения. При достаточном количестве вариант в выборке (n>30), распределение выборочных средних также подчиняются нормальному закону. Средней арифметической величиной этого ряда будет являться средняя генеральной совокупности m. Вариация же выборочных средних вокруг m может быть измерена своим средним квадратическим (стандартным) отклонением. Это отклонение получило название средней квадратической ошибки (стандартной ошибки). Стандартная ошибка может быть вычислена по формуле:

(22)

Так как s генеральной совокупности неизвестна, а разница между сигмами генеральной совокупности и выборки невелика, то в формуле (22) используют среднее квадратическое отклонение выборки s:

, (23)

где n – объем выборочной совокупности. Из формулы (23) следует, что величина стандартной ошибки обратно пропорциональна численности выборочной совокупности. Зная среднюю арифметическую выборочной совокупности и величину стандартной ошибки, можно определить интервал, в котором находится значение средней генеральной совокупности. Аналогично уравнению (20) критерий нормированного отклонения t для распределения средних арифметических выборок можно определить как:

t = ,

отсюда величина доверительного интервала для генеральной средней:

m= ±t . (24)

Для выборочной совокупности распределения студентов по возрасту, доверительный интервал для генеральной средней с вероятностью 0,95 будет равен:

m= =21,3±0,62 (лет).

Таким образом, стандартная ошибка показывает степень близости средней арифметической выборки к генеральной средней.