 |
Применение производной в экономике
|
|
|
|
5.1 Предельные микроэкономические показатели.
Рассмотрим однофакторную или одноресурсную, производственную функцию у=f(х), которая представляет собой зависимость объёма производимой продукции от объёма затраченного ресурса х. Часто этот ресурс – это количество живого человеческого труда, выраженного в человеко-часах или числе работников. Пусть в некоторый момент времени число работников фирмы равно а. Возникает вопрос о целесообразности принятия на работу ещё одного рабочего т. е оценить разность f(а+ Δ а)-f(а), при Δ а=1. Обычно производственные функции дифференцируемы, так что f(а+1)-f(а) ≈ f´(а). Если а велико, то это равенство довольно точное. Тогда f´(а)- добавочная продукция, производимая новым сотрудником. Пусть С – цена единицы продукции, а р зарплата работника. Тогда, если Сּf´(а) > р, то надо нанять ещё одного сотрудника, т. к. он принесёт фирме больше, чем она ему заплатит. Это золотое правило экономики (оно имеет универсальный характер.)
В экономике производную производственной функции называют предельной производительностью труда (при размере фирмы а), она приблизительно показывает на сколько увеличится объём выпускаемой продукции, если нанять ещё одного работника.
Рассмотрим некоторые экономические функции и определим экономический смысл их предельных величин (т. е. производных).
Функция спроса
D= D (р) – зависимость спроса D на некоторый товар от его цены р. D´(р) показывает приблизительно увеличение спроса при увеличении цены на 1 единицу. Поскольку D(р) – функция убывающая, то абсолютное значение производной D´(р) показывает уменьшение спроса со стороны покупателей на товар при повышении его цены на единицу.
|
|
|
Функция предложения
S=S(р) – зависимость предложения некоторого товара от его цены р. S´(р) показывает на сколько приблизительно увеличится предложение товара со стороны продавцов (производителей) при увеличении цены на 1 единицу.
Функция полезности
U(х)- субъективная числовая оценка полезности данным индивидом количества товара х для него. U´(х) показывает приблизительную оценку дополнительной полезности от приобретения ещё одной единицы товара. U´(х)=М U(х) – предельная полезность.
Налоговая ставка
Зависимость налога N в процентах от величины годового дохода Q: N=N(Q). Пусть P – само значение налога, которое надо платить с годового дохода Q. Тогда P´(Q)= N
5.2 Эластичность функции и её свойства.
Производная функции у=f(х) даёт величину мгновенного изменения функции у при значении аргумента х. В экономике часто удобно знать: на сколько процентов изменится значение функции у, если аргумент изменится на 1%. Для этого вводится понятие «эластичность функции» или относительная производная.
Рассмотрим функцию у=f(х). Пусть Δ х – приращение аргумента, Δ f(х) – соответствующее приращение функции. Тогда Δ х / х относительное изменение аргумента, Δ f(х) / f(х) - относительное изменение функции. Величина Δ f(х) / f(х):Δ х / х, т.е отношение относительного изменения функции к относительному изменению аргумента называется средней эластичностью функции f(х) по аргументу х на отрезке [х,х+Δх], а предел этого отношения при Δ х→0 называется эластичностью функции у по аргументу в точке х и обозначается Еху т. е.
(1)
Свойства эластичности
1. Эластичность взаимообратных функции – есть взаимообратные функции:
..................................................................
Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса:
EpD = 1/EDp
2. Эластичность произведения двух функций U(x) и V(x) равна сумме эластичностей:
|
|
|
ЕхUV = ExU + ExV
Доказательство:
..............................................................
.............................................................
3. Эластичность частного функций U(х) и V(х) равна разности эластичностей
ЕхU/V = ExU - ExV
Доказательство:
..............................................................
.............................................................
4. Для сложной функции у=f(u), где u= u(х) эластичность функции у по х находится по формуле:
Ехy = Euy ּ Exu
Доказательство:
..............................................................
.............................................................
Эластичность элементарных функций:
1) у=С=const ExC = =0.
2) у=ах +в Exy =
3) у=хα Exy =
4) у=ах Exy =
5.3 Эластичность спроса и предложения
Пусть D=D(р) – функция спроса от цены товара р. Тогда под эластичностью спроса понимается относительное изменение спроса при изменении цены товара на 1%:
EpD =................................. (2).
Аналогичное понятие можно ввести и для функции предложения S(р). Заметим, что функция D(р) убывает, а функция S(р) – возрастает с ростом р. Поскольку D (р) убывающая функция, то D´(р) <0 и тогда ЕpD< 0. Различают три вида спроса в зависимости от величины |ЕpD |:
a. если |ЕpD | > 1 (ЕpD < -1), то считается эластичным;
b. если |ЕpD | = 1 (ЕpD = -1), то спрос нейтрален;
c. если |ЕpD | < 1 (ЕpD > -1), то спрос неэластичен.
Пример №1.
Пусть D(р)= D0e-kp, где D0> 0 и k >0 - известные величины.
Найти, при каких значениях цены p спрос будет эластичным.
Решение.
Найдём EpD -?
EpD =.......................................................
Для того чтобы спрос был эластичным, составим неравенство:
|ЕpD | > 1 → |-2kp2 | > 1
2kp2 >1
p2 >
|p|>, т.к. p>0, то p >
Пример №2.
Найти изменение выручки с увеличением цены товара при разных эластичностях спроса.
Выручка R от продажи какого-либо товара вычисляется по формуле:
R(p) = pD(p), где p – цена товара,
D(p) – функция спроса.
Найдём эластичность: EpR = EppD(p) = Epp + EpD, т.к. EpD < 0, то
EpR = 1 - |ЕpD | (3).
Проанализируем все варианты эластичности выручки:
с учётом формулы (3)
ü если спрос эластичен, т. е. |ЕpD | >1, то эластичность выручки EpR<0. Т.о., при эластичном спросе повышение цены ведёт к снижению выручки, а снижение цены увеличивает выручку.
ü если спрос нейтрален, т. е. |ЕpD |=1, то EpR=0, т. е. при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку.
|
|
|
ü если спрос неэластичен, т. е. |ЕpD |<1, то EpR>0, т.е. при неэластичном спросе повышение цены на товар приводит к росту выручки.
Пример №3.
Пусть зависимость между себестоимостью продукции S и объёмом её производства Q выражается формулой: S = 50-0,4 Q.
Треб-ся определить эластичность себестоимости при выпуске продукции Q =40 (ден. ед.).
Решение:
Запишем EQS =.........................................
Подставим Q =40 EQ=40s = ….....................................
т. е. при данном объёме выпуска Q увеличение его на 1%приведёт к снижению себестоимости ≈ на 0,5%
5.4 Максимизация прибыли
Пусть Q – количество реализованного товара, R(Q) – функция дохода, С(Q) – функция затрат на производство товара. В реальности вид этих функций зависит от способа производства, организации инфраструктуры и т. п. Прибыль от реализации произведенного товара
П(Q) = R(Q) – C(Q) (4)
В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы прибыль была максимальна необходимо, чтобы предельный доход был равен предельным издержкам, то есть R/(Q) = C/(Q) (5).
Действительно, из необходимого условия экстремума для функции (4), следует, что П/(Q) =0, откуда и получается основной принцип (5).
Пример
Пусть R(Q) = 100Q – Q2; C(Q) = Q3 – 37Q2 + 169Q + 4000.
Тогда прибыль определяется формулой:
П(Q) = 100Q – Q2 – Q3 + 37Q2 – 169Q – 4000;
П(Q) = – Q3 + 36Q2 – 69Q – 4000.
Приравнивая производную к нулю, получаем уравнение:
-3Q2 + 72Q – 69 = 0;
Q2 – 24Q + 23 = 0.
Корни: Q 1= 1
Q2 = 2
Проверка показывает, что Пmax = 1290:
П(1)=-1+36-69-4000=-40034
П(23)=-233 +36 ּ 232- 69 ּ 23-4000=-12167+19044-1587-4000=1290
|
|
|
