Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.

Многие понятия, определенные для функции одной переменной, почти без изменения переносятся на функции нескольких переменных, заданных в евклидовом пространстве. Так, функция одной переменной может быть четной, нечетной, возрастающей, убывающей, ограниченной и т.д. Как выглядят эти понятия для функции нескольких переменных?

Прежде чем дать определение возрастающей (убывающей) функции на множестве Е^п, должно быть определено отношение порядка: Х₁ < Х₂ понимается как строгое неравенство для всех компонент векторов: x₁¹< x₁², x₂¹< x₂²,..., x_n¹< x_n². Тогда определение возрастающей (убывающей) функции нескольких переменных полностью аналогично соответствующему определению для функции одной переменной:

Определение. Функция y(X) называется возрастающей (убывающей) на множестве D Ì Е^п, если "Х₁, Х₂ Î D, таких что Х₁ < Х₂ следует, что y(X₁) < y(X₂) (y(X₁)>y(X₂)); функция y(X) называется неубывающей (не возрастающей) на множестве D Ì Е^п, если " Х₁, Х₂ Î D, таких что Х₁ £ Х₂ следует, что y(X₁) £ y(X₂) (y(X₁)³ y(X₂)).

Определение. Функция f(X), область определения которой (D(f)) симметрична относительно нуля называется четной (нечетной), если f(-X) = f(X) (f(-X) = -f(X)) для любого XÎ D(f).

Определение. Функция f(X) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве D, если существует такое число m, что f(X) £ m (f(X) ³ m) " X Î D.

Определение. Функция f(X), ограниченная и сверху и снизу на множестве D называется ограниченной на этом множестве, если m₁ £ f(X) £ m₂, " X Î D (m₁, m₂ – некоторые числа).

Определение. Функция f(X) называется выпуклой (вогнутой) на выпуклом множестве D, если "Х₁, Х₂ Î D и любого числа 0 £ l £ 1 верно, что f(lX₁ + (1-l)X₂) £ lf(X₁) + (1-l)f(X₂) (f(lX₁ + (1-l)X₂) ³ lf(X₁) + (1-l)f(X₂)).

Замечание. Из функции нескольких переменных можно получить несколько функций одной переменной: пусть функция y = f(x₁, x₂,..., x_n) – функция n переменных. Зафиксируем значения переменных x₂ = x₂⁰, x₃ = x₃⁰,..., x_n = x_n⁰, а х₁ – пусть изменяется. Тогда получим функцию одной переменной: y₁ = f(x₁, x₂⁰, x₃⁰,..., x_n⁰) = y₁(x₁). Аналогично можно получить функцию y₂(x₂), зафиксировав значения переменных х₁, х₃,...,х_n, и т.п. Значит, выражение «функция y = f(x₁, x₂,..., x_n) возрастает по х₁» означает, что возрастает функция y₁(x₁) при x₂ = x₂⁰, x₃ = x₃⁰,..., x_n = x_n⁰.

Графическое изображение функции более чем двух переменных невозможно. В случае же если функция f – функция двух переменных x и y, а значения ее z, то z = f(x,y) и график этой функции – поверхность в пространстве R³, состоящая из точек (x,y,z), где (x,y) Î D(f) (D(f) – область определения функции).

Например.

1) z = x² + y² – параболоид.

Область определения D(z) – множество всех точек плоскости OXY.

Область значений E(z): [0; + ¥). Z

 

 

 

 

Y

О

 

X

2) - эллиптический конус.

Область определения D(z) – множество всех точек плоскости OXY.

Область значений E(z): (-¥; + ¥). Z

 

 

O Y

 

X

 

3) x² + y² + z² = R² – сфера с центром в точке О(0;0;0) и радиуса R.

Z

 

 

O Y

 

X

4) - эллипсоид с центром в точке О(0;0;0).

Z

Y

O O

 

X

 

Для образного представления функции многих переменных используются линии заданного уровня.

Определение. Линией уровня функции двух переменных z = f(x,y) называется плоская кривая, получаемая при пересечении графика этой функции с плоскостью, параллельной плоскости OXY: z = C, где C = const.

Из определения следует, что линия уровня – это линия, в каждой точке которой значение функции не изменяется (= С).

Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям С, проецируются на плоскость OXY, тогда с их помощью можно исследовать характер поверхности, описываемой функцией z = f(x,y). Т.о. линии уровня функции z = f(x,y) – это семейство кривых на координатной плоскости OXY, описываемые уравнениями вида f(x,y)= С.

 

Аналогично вводится понятие поверхности уровня для функции n переменных:

Пусть y = f(x₁, x₂,..., x_n) – функция n переменных и С – какое-либо число, тогда f(x₁, x₂,..., x_n) = С – уравнение поверхности уровня С.

В частности, если n = 3: u = f(x, y, z) – функция 3-х переменных, то уравнение поверхности этой функции уровня C: f(x, y, z)=С – это уравнение поверхности в 3-ех мерном пространстве

 

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: