Производная по направлению, градиент функции.
Частные производные функции y=f(x1,x2..xn) по переменным x1, x2... xn выражают скорость изменения функции по направлению координатных осей. Например, Рассмотрим функцию трех переменных: u=f(x,y,z). Зафиксируем точку М0(x0,y0,z0) и какую-нибудь направленную прямую (ось) l, проходящую через эту точку. Пусть М(x,y,z) - произвольная точка этой прямой и ê М0М ê- расстояние от М0 до М. Du = f (x,y,z) – f(x0,y0,z0) – приращение функции в точке М0. Найдем отношение приращения функции к длине вектора
Определение. Производной функции u = f (x,y,z) по направлению l в точке М0 называется предел отношения приращения функции к длине вектора ê М0М ê при стремлении последнего к 0 (или, что одно и то же, при неограниченном приближении М к М0):
Эта производная характеризует скорость изменения функции в точке М0 в направлении l. Пусть ось l (вектор М0М)образует с осями OX, OY, OZ углы Обозначим x - x0 = y - y0 = z - z0 = Тогда вектор М0М = (x - x0, y - y0, z - z0)=
Отсюда получаем следующие выражения для Dx, Dy, Dz:
Полное приращение функции можно представить в виде:
Подставим выражения (2) в (3): Найдем отношение Перейдем к пределу при ê М0М ê ® 0:
(4) – формула для вычисления производной по направлению. Конечно, направление может быть задано просто соответствующим вектором. Рассмотрим вектор, координатами которого являются частные производные функции u=f(x, y, z) в точке М0:
grad u - градиент функции u=f(x, y, z) в точке М(x, y, z)
Рассмотрим единичный вектор по направлению l - Тогда производная функции u=f(x, y, z) по направлению l может быть представлена как скалярное произведение(
Следовательно, производная функции u=f(x, y, z) по данному направлению l есть скалярное произведение градиента функции на единичный вектор этого направления. Пусть j - угол между grad u и l, тогда:
Производная Свойства градиента:
Вывод: длина градиента функции u=f(x, y, z) – есть наиболее возможное значение
Частные производные
где i = 1, 2,..., n и k = 1, 2,..., n. Если i ¹ k, то частная производная (1) называется смешанной частной производной второго порядка. Если i = k, то частная производная второго порядка обозначается следующим образом:
Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и т.д. порядков. Функция y = f (x1,x2…xn) называется m раз дифференцируемой в точке М0(x10, x20...,xn0), если все её частные производные (m-1) -го порядка являются дифференцируемыми функциями в этой точке.
Пример: Найти частные производные второго порядка функции: z= x3 - x2y3 + x + y4. z’x = 3x2 - 2xy3 + 1; z’y= - x23y2 + 4y3; z’xx = 6x - 2y3; z’’yx = - 2x3y2 = - 6xy2; z’’xy= - 2x3y2 = - 6xy2; z’’yy= -x26y +12y2. Оказалось, что z’’xy = z’’yx. Это не случайно. Имеет место следующая теорема (без доказательства). Теорема Шварца Если функция y = f (X) дифференцируема m раз в точке M (x1, x2 .. xn), то смешанные производные m- го порядка в этой точке, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой. В частности, для функции z = f (x,y) имеем
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|