Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Перемножение эпюр произведем по правилу Верещагина и правилу Симпсона.

EJ (по Верещагину) (по Симпсону) .

Точка 2 перемещается вниз на 504 единицы.

Задача 2. Определить угол поворота сечения 4.

Прикладываем сосредоточенный изгибающий момент М = 1 к сечению 4 (рис. 46г) и строим от него эпюру М₁. Перемножаем полученную эпюру М₁ на М_р (она остается прежней – рис. 46б).

EJ (единиц – радиан).

Задача 3. Определить взаимное смещение узлов 1 и 2.

Прикладываем к точкам 1 и 2 две единичные противоположно направленные силы, линия действия которых проходит по линии 1 – 2 (рис. 46д). Строим от обобщенной единичной нагрузки эпюру М₁ (рис. 46е).

Перемножение эпюр М₁ и М_р дает:

Пример 3.

Ферма (рис. 47а) загружена системой сил. Требуется определить вертикальное перемещение узла 3 -

Определяем усилия в стержнях фермы от внешнего и единичного (рис. 47а,в) загружений. Результаты сведем в таблицу 3.

Таблица 3

№ стержня	1-2	2-3	3-4	5-3	5-2	2-6	6-1	1-7	7-6	6-5	5-4
Длина	3.0	3.0	5.0	4.0	5.0	4.0	5.0	4.0	3.0	3.0	3.0
Усил. Р	-16.5	-6.0	-10.0	8.0	-17.5	14.0	-23.75		30.75	16.5	6.0
Усил. 1	-0.75			1.0	-1.25		-1.25		1.5	0.75

; .

Результат есть сумма произведений усилий N_p на N₁ и на длину стержня, соответственно.

Пример 4.

Дана рама (рис. 48а), загруженная единичной силой Р = 1кн. Необходимо определить величину перемещения точки приложения этой силы по ее направлению. Эпюра М_p от внешнего загружения показана на рисунке 48б.

Загружаем раму единичной нагрузкой Р = 1, приложенной к точке 1 (к точке приложения внешней нагрузки) по направлению силы Р = 1 (кн) – рис. 49а, и строим эпюру М₁ (рис.49б). Сравнивая эти две эпюры, видим, что они равны во всех отношениях, а это означает, что формулу Мора можем записать:

В этом случае мы говорим, что эпюру перемножаем саму на себя.

Читатель, отметьте это для себя - этим мы в дальнейшем будем пользоваться неоднократно.

EJ .

Пример 5.

Рама (рис.50а). Опора 4 просела на величину . Определим горизонтальное перемещение узла 2. К узлу 2 приложим горизонтальную силу Р=1 (рис.50б) и определим от этого загружения реакцию четвертой опоры:

; , откуда .

Используя четвертое слагаемое формулы Мора, определим:

Знак минус в скобках взят потому, что направления реакции и перемещения опоры различные.

Пример 6.

На конструкцию (рис. 51а) воздействует температура. Определим перемещение узла 3 по горизонтали. В решении этой задачи участвуют пятое

и шестое слагаемые формулы Мора. Необходимо отметить, что оба слагаемые равноправны. Приложим к узлу 3 единичную силу (рис. 51б). Построим эпюры моментов и продольных усилий (рис. 51в,г). Перед вычислением искомого перемещения отметим правила знаков:

- для изгибающего момента:

если воздействие температуры и единичная сила растягивают волокна стержня с одной стороны относительно оси, то знак вычисления положительный;

- для продольного усилия:

если температура и единичная сила вызывают деформацию стержня одного направления, то знак вычисления положительный.

Вычислим искомое перемещение:

Глава 2. Статически неопределимые конструкции

2.1 Расчет конструкций методом сил

Пример 1. Требуется рассчитать конструкцию (рис. 52).

Решение.

- Определение степени свободы конструкции

Это говорит о наличии 2-х избыточных связей.

- Основная система для расчета получается удалением 2-х связей. Необходимо помнить о безусловно необходимых связях (их нельзя удалять) и условно необходимых, которые можно удалить.

Рис. 52

Варианты основной системы приведены на рисунке 53. Варианты в) и д) использовать в дальнейших расчетах, как уже написано, нельзя, т. к. удалены безусловно необходимые связи и получаемая основная система мгновенно изменяемая!

Привычна по виду схема б), но оптимальной для дальнейшего расчета будет схема г). Примем ее за основную систему.

- Для основной системы запишем уравнения совместности деформации или канонические уравнения:

;

Каждое из этих уравнений гласит: суммарное перемещение точки приложения неизвестных усилий по их направлению от воздействия всех сил, действующих на конструкцию, равно нулю.

Здесь - перемещение точки приложения i -ой неизвестной по ее направлению от воздействия к-ой силы ;

- перемещение точки приложения i -ой силы по ее направлению от воздействия на конструкцию внешней нагрузки.

Для определения этих коэффициентов и грузовых слагаемых строим эпюры изгибающих моментов от сил и от внешней нагрузки (рис. 54).

Вычисляем :

Эпюру М₁ перемножаем саму на себя:

Вычисляем .(Перемножаются эпюры М₁и М₂):

Вычисляем . (Перемножается эпюра М₂сама на себя):

Вычисляем . (Перемножаются эпюры М₁на М_Р):

Рис. 54

Вычисляем . (Перемножаются эпюры М₂на М_Р):

- Решение системы:

х₁= - 12,155 кн;

х₂= - 2,368 кн.

- Построение эпюр внутренних усилий для заданной рамы.

1-ый путь построения

К основной системе (рис. 55) приложим заданную нагрузку и найденные усилия в отброшенных связях с учетом их знака. Для полученной схемы строим эпюры внутренних усилий обычным путем (методами сопротивления материалов).

Определяем реакции в связях:

; .

кн.

; .

(кн).

Тогда из второго уравнения кн.

Эпюры внутренних усилий М, Q и N показаны на рисунке 56(а,б,в). Читателю предлагается самостоятельно построить их и результаты сравнить.

- Производим статическую проверку – равновесие узла должно сохраняться (рис. 56г,д).

; , .

- Кинематическая проверка.

где - одна из единичных эпюр .

Перемножим (рис.56а) на (рис. 54а):

Процент погрешности составит:

2-ой путь построения

Он основан на принципе независимости действия сил (рис. 57).

Сравнивая полученные результаты, по мы видим небольшие погрешности вычисления. Следуя дальше вторым путем, эпюру Q _о_k строим по эпюре М_ок. Для этого нашу раму расчленим на отдельные элементы (балки): 1 – 2; 2 – 3; 2 – 4; 4 – 6; 6 – 7, т. е. на 5 отдельных балок (рис.58). Загружаем их внешней нагрузкой и моментами в жестких узлах, взятых из эпюры М_ок (рис.57).

Разберем одну из балок, скажем, балку 2 – 4 (рис. 58в). Для удобства расположим ее горизонтально (рис. 58е).

Определяем опорные реакции

; . кН.

; .

(кН).

По этим данным строим эпюру Q (рис. 58е).

Сравнивая значения и знаки (!) с эпюрой Q _ok, построенной ранее

(рис. 52), на этом участке мы видим полное совпадение.

Эпюру N _ok строим по эпюре Q _ok, используя способ вырезания узлов, как это делалось в статической проверке, где мы показали это на примере одного узла. Используя результаты Q_ок, построенной ранее, покажем на примере узла 4 определение продольных усилий в стержнях 4 – 2 и 4 – 6 (рис. 59).

Cверим значения и со значениями, найденными ранее (рис. 56) – они полностью совпадают.

Приведем пример расчета рамы без пояснений (рис. 60).

1. .

2. На рисунке 61 приведены варианты основных систем.

Делаем выбор на варианте а).

3. ;

;

Проверили? Все правильно?

Система уравнений:

;

Получаем: кН; кН; кН.

Загружаем конструкцию найденными усилиями и внешней нагрузкой (рис. 63). Окончательные эпюры внутренних усилий приведены на рисунке 64.

Статическая проверка.

По моментам видно (из эпюры М – рис. 64 -все узлы в равновесии. По Q и N рассмотрим характерные узлы (рис. 65а,б). Видим, что уравнения статики соблюдаются.

Кинематическая проверка.

Погрешность составляет 0,04%.

Пример расчета статически неопределимой балки

Для балки (рис. 66а) определим внутренние усилия.

Решение.

1) .

Два раза статически неопределимая балка. Основные системы метода сил представлены на рисунке 66 б,в.

Для расчета примем вариант в).

2) Запишем систему канонических уравнений:

;

3) Вычисляем коэффициенты и .

Эпюры от единичных загружений представлены на рисунке 67б,в) и от внешней нагрузки - на рисунке 67г.

; ;

;

; .

Решение системы:

;

Дает кнм; кнм.

По полученным значениям строим и (рис. 68а,б)

и (рис. 68в).

Проверки.

а) Статическая проверка. Значения моментов на опорах (рис. 68в) одинаковы и равновесие обеспечивается. Проверка удовлетворяется.

б) Кинематическая проверка.

Перемножим с . Проверим, будет ли взаимный угол поворота сечений балки на опоре 2 равен нулю?

. Проверка удовлетворяется.

Эпюра строится по эпюре по рассмотренному ранее принципу. Выполните построение самостоятельно и свой результат сверьте с приведенным решением на рисунке 68г.

2.2 Расчет неразрезных балок

Для балок с большим числом пролетов (неразрезные балки – рис. 69а) оптимальная основная система получается введением шарниров во все опорные узлы (как это мы сделали для разобранной выше балки – рис. 66в). На полученной основной системе (рис. 69б) направление неизвестных моментов показаны на трех опорах, входящих в общее уравнение.

Для неразрезных балок неизвестные обозначаются через - изгибающий момент на ой опоре. Опуская доказательства, распишем одно уравнение из системы канонических уравнений для основной системы (рис. 69б), скажем, для - ой опоры при :

Данное уравнение носит название - уравнение трех моментов.

В этом уравнении: - длина пролета (пролет нумеруется по номеру правой опоры); и - фиктивные реакции ( - правая реакция для - го пролета; - левая реакция для пролета). Они получаются от нагрузки, представленной эпюрой моментов соответствующих пролетов, которые, в свою очередь, строятся от заданного загружения соответствующих пролетов.

Тогда левая часть системы канонических уравнений будет представлять собой ленточную матрицу вида (для шести неизвестных):

Рис. 69

Заметим, что уравнения (за исключением первого и последнего) содержат только три слагаемых.

Вернемся к балке, представленной на рисунке 66а.

Для получения основной системы примем следующие упрощения:

- заделку заменим фиктивным пролетом, равным нулю;

- консоль отбросим, но влияние нагрузки на консоли выразим (заменим) через опорный момент и примем его со знаком минус, т. к. данный момент растягивает верхние волокна, а неизвестные опорные моменты, как видно из основной системы, - нижние (рис. 70а).

Запишем уравнения трех моментов для каждого неизвестного момента. Для опоры 1:

Для опоры 2:

Упростим левую часть уравнений, зная, что и величину пролетов:

;

Для определения загрузим основную систему внешней нагрузкой (рис70б). Загружен третий пролет равномерно распределенной нагрузкой, от которой эпюра моментов представляет собой квадратную параболу с ординатой по середине