Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Перемножение эпюр произведем по правилу Верещагина и правилу Симпсона.




EJ (по Верещагину) (по Симпсону) .

Точка 2 перемещается вниз на 504 единицы.

Задача 2. Определить угол поворота сечения 4.

Прикладываем сосредоточенный изгибающий момент М = 1 к сечению 4 (рис. 46г) и строим от него эпюру М1. Перемножаем полученную эпюру М1 на Мр (она остается прежней – рис. 46б).

EJ (единиц – радиан).

Задача 3. Определить взаимное смещение узлов 1 и 2.

Прикладываем к точкам 1 и 2 две единичные противоположно направленные силы, линия действия которых проходит по линии 1 – 2 (рис. 46д). Строим от обобщенной единичной нагрузки эпюру М1 (рис. 46е).

Перемножение эпюр М1 и Мр дает:

 

.

 

Пример 3.

Ферма (рис. 47а) загружена системой сил. Требуется определить вертикальное перемещение узла 3 -

Определяем усилия в стержнях фермы от внешнего и единичного (рис. 47а,в) загружений. Результаты сведем в таблицу 3.

 

 

 

 

Таблица 3

№ стержня 1-2 2-3 3-4 5-3 5-2 2-6 6-1 1-7 7-6 6-5 5-4
Длина 3.0 3.0 5.0 4.0 5.0 4.0 5.0 4.0 3.0 3.0 3.0
Усил. Р -16.5 -6.0 -10.0 8.0 -17.5 14.0 -23.75   30.75 16.5 6.0
Усил. 1 -0.75     1.0 -1.25   -1.25   1.5 0.75  

; .

EJ

.

Результат есть сумма произведений усилий Np на N1 и на длину стержня, соответственно.

Пример 4.

Дана рама (рис. 48а), загруженная единичной силой Р = 1кн. Необходимо определить величину перемещения точки приложения этой силы по ее направлению. Эпюра Мp от внешнего загружения показана на рисунке 48б.

Загружаем раму единичной нагрузкой Р = 1, приложенной к точке 1 (к точке приложения внешней нагрузки) по направлению силы Р = 1 (кн) – рис. 49а, и строим эпюру М1 (рис.49б). Сравнивая эти две эпюры, видим, что они равны во всех отношениях, а это означает, что формулу Мора можем записать:

.

В этом случае мы говорим, что эпюру перемножаем саму на себя.

Читатель, отметьте это для себя - этим мы в дальнейшем будем пользоваться неоднократно.

EJ .

 

 

 

Пример 5.

Рама (рис.50а). Опора 4 просела на величину . Определим горизонтальное перемещение узла 2. К узлу 2 приложим горизонтальную силу Р=1 (рис.50б) и определим от этого загружения реакцию четвертой опоры:

 

 

 

; , откуда .

Используя четвертое слагаемое формулы Мора, определим:

.

Знак минус в скобках взят потому, что направления реакции и перемещения опоры различные.

 

Пример 6.

На конструкцию (рис. 51а) воздействует температура. Определим перемещение узла 3 по горизонтали. В решении этой задачи участвуют пятое

 

 

и шестое слагаемые формулы Мора. Необходимо отметить, что оба слагаемые равноправны. Приложим к узлу 3 единичную силу (рис. 51б). Построим эпюры моментов и продольных усилий (рис. 51в,г). Перед вычислением искомого перемещения отметим правила знаков:

- для изгибающего момента:

если воздействие температуры и единичная сила растягивают волокна стержня с одной стороны относительно оси, то знак вычисления положительный;

- для продольного усилия:

если температура и единичная сила вызывают деформацию стержня одного направления, то знак вычисления положительный.

Вычислим искомое перемещение:

 

 

Глава 2. Статически неопределимые конструкции

 

2.1 Расчет конструкций методом сил

Пример 1. Требуется рассчитать конструкцию (рис. 52).

Решение.

- Определение степени свободы конструкции

.

Это говорит о наличии 2-х избыточных связей.

- Основная система для расчета получается удалением 2-х связей. Необходимо помнить о безусловно необходимых связях (их нельзя удалять) и условно необходимых, которые можно удалить.

 

Рис. 52

 

Варианты основной системы приведены на рисунке 53. Варианты в) и д) использовать в дальнейших расчетах, как уже написано, нельзя, т. к. удалены безусловно необходимые связи и получаемая основная система мгновенно изменяемая!

Привычна по виду схема б), но оптимальной для дальнейшего расчета будет схема г). Примем ее за основную систему.

- Для основной системы запишем уравнения совместности деформации или канонические уравнения:

;

.

 

 

 

Каждое из этих уравнений гласит: суммарное перемещение точки приложения неизвестных усилий по их направлению от воздействия всех сил, действующих на конструкцию, равно нулю.

Здесь - перемещение точки приложения i -ой неизвестной по ее направлению от воздействия к-ой силы ;

- перемещение точки приложения i -ой силы по ее направлению от воздействия на конструкцию внешней нагрузки.

Для определения этих коэффициентов и грузовых слагаемых строим эпюры изгибающих моментов от сил и от внешней нагрузки (рис. 54).

Вычисляем :

.

Эпюру М1 перемножаем саму на себя:

.

Вычисляем .(Перемножаются эпюры М1 и М2 ):

.

Вычисляем . (Перемножается эпюра М2 сама на себя):

.

Вычисляем . (Перемножаются эпюры М1 на МР ):

 

Рис. 54

 

.

Вычисляем . (Перемножаются эпюры М2 на МР):

.

- Решение системы:

х1= - 12,155 кн;

х2= - 2,368 кн.

- Построение эпюр внутренних усилий для заданной рамы.

1-ый путь построения

К основной системе (рис. 55) приложим заданную нагрузку и найденные усилия в отброшенных связях с учетом их знака. Для полученной схемы строим эпюры внутренних усилий обычным путем (методами сопротивления материалов).

 

Определяем реакции в связях:

; .

кн.

; .

; .

.

(кн).

Тогда из второго уравнения кн.

Эпюры внутренних усилий М, Q и N показаны на рисунке 56(а,б,в). Читателю предлагается самостоятельно построить их и результаты сравнить.

- Производим статическую проверку – равновесие узла должно сохраняться (рис. 56г,д).

; , .

; , .

; , .

 

 

 

- Кинематическая проверка.

,

где - одна из единичных эпюр .

Перемножим (рис.56а) на (рис. 54а):

Процент погрешности составит:

.

2-ой путь построения

Он основан на принципе независимости действия сил (рис. 57).

.

 

 

Сравнивая полученные результаты, по мы видим небольшие погрешности вычисления. Следуя дальше вторым путем, эпюру Q оk строим по эпюре Мок. Для этого нашу раму расчленим на отдельные элементы (балки): 1 – 2; 2 – 3; 2 – 4; 4 – 6; 6 – 7, т. е. на 5 отдельных балок (рис.58). Загружаем их внешней нагрузкой и моментами в жестких узлах, взятых из эпюры Мок (рис.57).

Разберем одну из балок, скажем, балку 2 – 4 (рис. 58в). Для удобства расположим ее горизонтально (рис. 58е).

Определяем опорные реакции

; . кН.

; .

; .

(кН).

(кН).

По этим данным строим эпюру Q (рис. 58е).

 

 

Сравнивая значения и знаки (!) с эпюрой Q ok, построенной ранее

(рис. 52), на этом участке мы видим полное совпадение.

Эпюру N ok строим по эпюре Q ok, используя способ вырезания узлов, как это делалось в статической проверке, где мы показали это на примере одного узла. Используя результаты Qок, построенной ранее, покажем на примере узла 4 определение продольных усилий в стержнях 4 – 2 и 4 – 6 (рис. 59).

 

Cверим значения и со значениями, найденными ранее (рис. 56) – они полностью совпадают.

Приведем пример расчета рамы без пояснений (рис. 60).

 

 

1. .

2. На рисунке 61 приведены варианты основных систем.

Делаем выбор на варианте а).

 

3. ;

;

.

 

 

 

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Проверили? Все правильно?

Система уравнений:

;

;

.

 

Получаем: кН; кН; кН.

Загружаем конструкцию найденными усилиями и внешней нагрузкой (рис. 63). Окончательные эпюры внутренних усилий приведены на рисунке 64.

 

 

Статическая проверка.

По моментам видно (из эпюры М – рис. 64 -все узлы в равновесии. По Q и N рассмотрим характерные узлы (рис. 65а,б). Видим, что уравнения статики соблюдаются.

Кинематическая проверка.

.

 

 

Погрешность составляет 0,04%.

 

Пример расчета статически неопределимой балки

Для балки (рис. 66а) определим внутренние усилия.

 

 

 

Решение.

1) .

Два раза статически неопределимая балка. Основные системы метода сил представлены на рисунке 66 б,в.

Для расчета примем вариант в).

2) Запишем систему канонических уравнений:

;

.

3) Вычисляем коэффициенты и .

Эпюры от единичных загружений представлены на рисунке 67б,в) и от внешней нагрузки - на рисунке 67г.

 

 

; ;

;

; .

Решение системы:

;

.

Дает кнм; кнм.

По полученным значениям строим и (рис. 68а,б)

и (рис. 68в).

Проверки.

а) Статическая проверка. Значения моментов на опорах (рис. 68в) одинаковы и равновесие обеспечивается. Проверка удовлетворяется.

б) Кинематическая проверка.

 

 

Перемножим с . Проверим, будет ли взаимный угол поворота сечений балки на опоре 2 равен нулю?

. Проверка удовлетворяется.

Эпюра строится по эпюре по рассмотренному ранее принципу. Выполните построение самостоятельно и свой результат сверьте с приведенным решением на рисунке 68г.

 

2.2 Расчет неразрезных балок

Для балок с большим числом пролетов (неразрезные балки – рис. 69а) оптимальная основная система получается введением шарниров во все опорные узлы (как это мы сделали для разобранной выше балки – рис. 66в). На полученной основной системе (рис. 69б) направление неизвестных моментов показаны на трех опорах, входящих в общее уравнение.

Для неразрезных балок неизвестные обозначаются через - изгибающий момент на ой опоре. Опуская доказательства, распишем одно уравнение из системы канонических уравнений для основной системы (рис. 69б), скажем, для - ой опоры при :

.

Данное уравнение носит название - уравнение трех моментов.

В этом уравнении: - длина пролета (пролет нумеруется по номеру правой опоры); и - фиктивные реакции ( - правая реакция для - го пролета; - левая реакция для пролета). Они получаются от нагрузки, представленной эпюрой моментов соответствующих пролетов, которые, в свою очередь, строятся от заданного загружения соответствующих пролетов.

Тогда левая часть системы канонических уравнений будет представлять собой ленточную матрицу вида (для шести неизвестных):

 

 

 

Рис. 69

 

 

.

 

Заметим, что уравнения (за исключением первого и последнего) содержат только три слагаемых.

Вернемся к балке, представленной на рисунке 66а.

Для получения основной системы примем следующие упрощения:

- заделку заменим фиктивным пролетом, равным нулю;

- консоль отбросим, но влияние нагрузки на консоли выразим (заменим) через опорный момент и примем его со знаком минус, т. к. данный момент растягивает верхние волокна, а неизвестные опорные моменты, как видно из основной системы, - нижние (рис. 70а).

 

 

Запишем уравнения трех моментов для каждого неизвестного момента. Для опоры 1:

.

Для опоры 2:

Упростим левую часть уравнений, зная, что и величину пролетов:

;

.

Для определения загрузим основную систему внешней нагрузкой (рис70б). Загружен третий пролет равномерно распределенной нагрузкой, от которой эпюра моментов представляет собой квадратную параболу с ординатой по середине

(кнм).

Эту эпюру моментов представляем в виде фиктивной нагрузки на третьем пролете (рис. 70в). От этой нагрузки вычисляем фиктивные опорные реакции:

(кнм2).

Учитывалась симметричность загружения (получаем величину реакций, как половину площади квадратной параболы).

На пролетах 1 и 2 нет нагрузки и поэтому .

Вычисляем и правую часть уравнений:

;

или

;

.

Из первого уравнения находим:

тогда из второго определим:

и .

Сравнивая результаты с вычисленными обычным путем (рис.68в), видим их совпадение.

Рассмотрим следующий пример (рис. 71а).

1. Выбираем основную систему (рис. 71б).

2. Записываем уравнения 3-х моментов:

;

;

.

Для вычисления и построим эпюры изгибающих моментов в основной системе от внешней нагрузки (рис. 71в,г).

3. Вычисляем фиктивные реакции:

Второй пролет:

. .

Третий пролет:

; .

Четвертый пролет:

; .

Подставим полученные значения в уравнения:

.

4. Решение системы дает:

.

5. Построение окончательных эпюр.

Эпюра изгибающих моментов.

В неразрезных балках окончательная эпюра (рис. 71е) строится путем сложения эпюры (рис. 71г) и эпюры опорных моментов (рис. 71д).

Эпюра Qок строится уже известными приемами (рис. 71ж):

для балки 1 – 2:

; (кн);

для балки 2 – 3:

; (кн);

для балки 3 – 4

; (кн).

Опорные реакции определяются по эпюре . Можно использовать два подхода:

1) Используем правило – в точке приложения сосредоточенной силы на эпюре наблюдается скачок на величину данной силы. Отсюда:

2) Равновесие опорного узла.

 

Вырезаем опорный узел (для примера – узел 2, рис. 72). В местах разреза появляются перерезывающие силы, их направляем с учетом знака. Тогда:

дает:

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...