 |
Вероятность результатов измерения
|
|
|
|
Пусть 
- вероятность того, что при измерении величины 
для системы, находящейся в состоянии 
мы получим результат 
. Если система находится в состоянии 
, то величина при измерении выходит с вероятностью равной 1:
В общем случае;
Если полная производная оператора 
удовлетворяет равенству
,
то собственная функция оператора описывает состояние системы.
Для непрерывного спектра, вероятность того, что результаты измерения величины A для системы, находящейся в состоянии , лежит в интервале от 
до 
, определяется следующим выражением:
, 
(13.1)
или плотность вероятности 
[§15.] Операторы координаты 
, импульса 
, момента импульса 
, энергии 
.
Будем использовать координатное представление ( -представление). Будем рассматривать систему из одной материальной точки. Действие сводитсяк умножению на вектор 
, т. е. 
(это определение действия оператора ).
Здесь строго соблюдается последовательность операторов при раскрытии векторного произведения, например, первая компонента:
,
однако для частного случая декартовых координат порядок операторов не существенен.
Оператор энергии или гамильтониан :
,
здесь 
- оператор кинетической энергии, 
- оператор потенциальной энергии. Для одной материальной точки гамильтониан имеет вид:
Переменная t – признак внешнего нестационарного поля.
Тут присутствует и , но 
и одновременно неизмеримы, тогда потенциальная и кинетическая энергия в квантовой механике не могут быть одновременно измеримыми. В квантовой механике существует понятие “энергия частицы”, но порознь вводить энергию нельзя, иначе либо 
, либо 
оказываются неизвестными.
[§ 19.] Волновое уравнение
Надо сформулировать уравнение функции, которая описывала бы квантово-механическую систему.
|
|
|
Это уравнение было получено Шредингером интуитивным путем. Оно ниоткуда не выводится.
Приведем некоторые соотношения в пользу уравнения Шредингера:
Норма волновой функции: 
- вероятность обнаружить динамические переменные в интервале 
.
Наложим на 
- условие ее сохранения во времени. 
- это физическое требование, поскольку 
, то 
также функция времени.
На базе ограничения получим некоторые ограничения на 
.
Обозначим 
. Мы знаем, что 
, таким образом 
. Тогда само скалярное произведение 
- чисто мнимое число.
Но 
- число вещественное. Отсюда можно представить
(19.1)
Здесь мнимая единица из соотношения . Т. к. в (*) стоит линейный оператор , то это соотношение удовлетворяет принципу суперпозиции.
Подставим (19.1) в равенство , тогда
- эта величина должна быть чисто вещественной, тогда оператор - эрмитов: 
.
Свойства оператора :
В пределе перехода к классической механике: 
, то 
, где S – действие из классической механики. Причем 
, тогда рассматривая
, (19.2)
где 
- функция Гамильтона.
В нашем случае 
, тогда учитывая предельный переход и (19.2), то: 
.
Получили волновое уравнение:
- нестационарное уравнение Шредингера (волновое уравнение).
Каждой системе ставится в соответствие Гамильтониан, решаем с гамильтонианом уравнение Шредингера и получаем волновую функцию которая определяет эволюцию системы.
[§ 24.] Оператор Гамильтона различных систем
Этот вопрос идентичен вопросу рассмотренному в классической механике - будут те же соотношения, но для операторов
.
Поставим в соответствие конкретной системе операторы 
и 
:
В декартовой системе координат 
, 
.
Здесь n – число точек в системе.
.
- функция от оператора координаты.
Мы рассматриваем - представление, здесь
Мы рассматриваем декартову систему координат. Гамильтониан мы поставили в соответствие системе материальных точек. Эта система незамкнутая, т. к. потенциальная энергия зависит от времени. (т. е. здесь нет однородности времени).
|
|
|
Перейдем к более простой задаче. Рассмотрим систему N материальных точек во внешнем стационарном поле
Здесь 
отвечает за внутреннее взаимодействие между частицами.
отвечает за внешнее воздействие на систему частиц.
.
Выражение, описывающее внешнее воздействие обладает аддитивностью, т. е.
.
Индекс a означает, что разные частицы могут взаимодействовать с внешним полем по разному закону. Если все частицы одинаковые и одинаково взаимодействуют с внешним полем, то индекс a убирается.
Внутреннее взаимодействие 
не аддитивно.
Рассмотрим случай свободной материальной точки. Соответственно она ни с чем не взаимодействует:
Тогда 
, или в -представлении, то
,
тогда 
.
Если материальная точка во внешнем поле:
, 
,
Нестационарное поле 
.
Стационарное поле 
.
Центральное поле 
.
Рассмотрим систему двух материальных точек. Мы рассматриваем частный случай – замкнутая система двух материальных точек.
В случае классической механики: 
.
Отсутствие t в энергии взаимодействия – это однородность времени и закон сохранения энергии.
Зависимость энергии от модуля 
есть изотропность пространства.
В квантовой механике в -представлении:
,
,
где
|
|
|
