 |
Квазизамкнутость и статистическая независимость подсистем
|
|
|
|
Рассмотрим систему состоящую из некоторого числа подсистем.
Даны две подсистемы и их область контакта. Взаимодействие между подсистемами идёт через границу, через приграничный слой в который проникает взаимодействие.
Чем больше время наблюдения, тем глубже проникает взаимодействие в подсистемы. Чем меньше время, тем уже этот слой.
Если слой очень узок, то взаимодействием можно пренебречь, в течение достаточно малого промежутка времени. Такие системы называются квазизамкнутыми.
С точки зрения теории вероятностей вводят понятие статистической независимости.
- обладает свойством мультипликативности, т.е. её можно разбить на произведение элементарных объёмов подсистем:
Здесь 
- это подсистемы.
В общем случае 
- немультипликативна. Но для статистически независимых подсистем тоже мультипликативна:
На языке средних:
Здесь 
- это функция координат -той подсистемы, тогда:
Тогда можно усреднять параметры, относящиеся к переменным данной подсистемы.
Вероятность 
, тогда 
тоже разбивается на 
.
Статистическую независимость обычно рассматривают при 
.
Принцип равновероятности микросостояний
Бывает необходимо подсчитать число микросостояний, которые отвечают данному макросостоянию. Принцип равновероятности говорит, что все микросостояния, реализующие данное макросостояние, равновероятны (иногда в этом определении добавляют – для замкнутой системы).
Статистический вес макросостояния
Статистический вес макросостояния – это число микросостояний, реализующих данное макросостояние.
Статистическая энтропия
Вводится понятие энтропии:
- на языке плотности вероятности.
|
|
|
- на языке функции распределения.
Оказывается, что
где 
- статистический вес макросостояния.
Теорема Лиувилля
Утверждается, что функция есть интеграл движения:
С помощью этой теоремы далее делаются выводы, которые приводят к получению функции или 
.
Если рассматривается случай квантовой статистики, то:
, где 
(
- это номер состояния)
А среднее:
, где 
Из теоремы Лиувилля извлечём свойство:
Так как - интеграл движения, то она может быть представлена через комбинацию имеющихся у системы интегралов движения, т.е. число интегралов движения – конечное число.
Для простоты часто рассматривают так называемое микроканоническое распределение.
В случае квазизамкнутых статистически независимых систем для плотности вероятностей мы писали:
, 
- число подсистем
И для :
-это следствие статистической независимости подсистем.
Для квантового случая пишут 
, -индекс подсистемы, - номер квантового состояния.
Тогда 
, т.е. логарифм от есть величина аддитивная.
Из теоремы Лиувилля имеем:
, - интеграл движения
т.е. можно получить как суперпозицию интегралов движения. Для квазизамкнутых систем (в частном случае) имеем: - интеграл движения, 
- аддитивная величина.
Тогда можно представить как суперпозицию аддитивных интегралов движения.
В большинстве случаев ограничиваются одним из семи интегралов движения, а именно энергией. Для -ой системы можем записать:
В этом выражении 7 интегралов движения: один в энергии, три в импульсе и три в моменте импульса.
Когда систему помещают в жёсткий ящик, где она не может ни вращаться, ни перемещать, то зависимость 
от 
и 
пропадает, и остаётся:
здесь 
и 
- произвольные константы.
В силу макроскопичности системы, влияния граничных условий ящика на общее термодинамическое состояние нет, есть лишь влияние в тонком приграничном слое.
В квантовом случае, можно взять равной 
, где 
- это коэффициенты разложения волновой функции по собственным функциям оператора Гамильтониана (оператора энергии).
|
|
|
|
|
|
