Каноническое распределение Гиббса
⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Удобно записать теорему Лиувилля в виде:
Поместим систему в жёсткий неподвижный ящик, тогда, т.к. не может двигаться так: Само распределение пишется: Это каноническое распределение Гиббса; для квантового случая навешивается Здесь
тогда
На базе микроканонического распределения строят каноническое распределение. Также можно получить каноническое распределение системы через принцип возрастания энтропии. Рассмотрим систему 1, и считаем что состояние стационарное. Найдём условие экстремума функции Мы используем Второе начало термодинамики: т.е. если система выведена из состояния равновесия, то она идёт в развитии с увеличением
Отсюда имеем задачу поиска экстремума функции Вероятность удовлетворяет условию нормировки:
Задача (1) и (2) является задачей поиска условного экстремума.
Однако с помощью метода неопределённых множителей Лагранжа можно найти экстремум
Найдём производную здесь остальные члены при дифференцировании обращаются в нуль. Найдём вторые производные:
Стало быть, мы имеем максимум, так как вторая производная меньше нуля. Тогда из условия константа находится из условия нормировки:
Выражение (*) есть принцип равной вероятности для замкнутой системы; это есть микроканоническое распределение.
Теперь найдём экстремум энтропии
Переходим от условного экстремума энтропии к безусловному экстремуму функции Берём производные: (3) - это условие экстремума Обозначим Отсюда для Постоянная
Выражение (5) называется статистической суммой. А выражение (4) – это каноническое распределение Гиббса. Это распределение относится к системе:
Микроканоническое распределение мы получали для замкнутых систем, где А каноническое распределение получили, когда система 1 была в тепловом контакте с термостатом 2:
Константа Найдём связь энтропии с энергией: Тогда: Используем условия
В термодинамике Тогда: Отсюда имеем И мы определили второй неопределённый множитель Лагранжа.
Каноническое распределение Гиббса принимает вид:
Аналогично пишут для Здесь
§21*. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса
Далее будем излагать без константы здесь В квазиклассике: Рассмотрим систему из т.е. это обычное трехмерное пространство. Тогда можем в явном виде записать кинетическую энергию и аргументы потенциальной энергии:
здесь время И функция плотности вероятности и вероятность зависят от всех выше указанных переменных:
Каждый вектор Вероятность где Если имеем вероятность некоторого совместного события: то вероятность одного из них: тогда:
Используем соотношение (16), чтобы, зная вероятность (15), найти плотность распределения импульсов (в данном случае импульса первой точки): Аналогично (16) получаем:
Для функции При интегрировании функция Из условия нормировки найдём константу Далее индекс «1» ставить не будем, т.к. если все точки одинаковы, то нет смысла выделять точку (для всех точек распределение будет одинаковое).
(Далее Т – температура) Тогда:
все переменные меняются в пределах от где Тогда получаем: Само распределение имеет вид: Мы получили распределение вероятностей импульсов или распределение Максвелла. Хотя его ещё называют распределением Больцмана. Эта вероятность говорит о событии: здесь три неравенства, т.к. имеется три проекции импульса.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|