Каноническое распределение Гиббса
⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Удобно записать теорему Лиувилля в виде: - есть интеграл движения, точнее есть функция различных интегралов движения. Поместим систему в жёсткий неподвижный ящик, тогда, т.к. не может двигаться так: , то нет сохранения импульса. И так как не может вращаться, то нет сохранения момента импульса. Тогда осталось сохранение энергии, т.е. можем записать: Само распределение пишется: Это каноническое распределение Гиббса; для квантового случая навешивается - номер квантового состояния. - константа, не зависящая от состояния , которая находится из условия . Здесь - температура в энергетической шкале – это удобно в теории. Хотя на практике измеряют в градусах. , тогда . Система 1 и термостат 2 образуют замкнутую систему. Здесь присутствует микроканоническое распределение. На базе микроканонического распределения строят каноническое распределение. Также можно получить каноническое распределение системы через принцип возрастания энтропии. Рассмотрим систему 1, и считаем что состояние стационарное. Найдём условие экстремума функции . Мы используем - квантовые функции, т.к. это удобнее, чем использовать . При использовании вылезает константа из-за размерности . - это размерная величина, а логарифм надо брать от безразмерной величины, каковой и является . Второе начало термодинамики: т.е. если система выведена из состояния равновесия, то она идёт в развитии с увеличением , поэтому: - имеем условие экстремума Отсюда имеем задачу поиска экстремума функции . Вероятность удовлетворяет условию нормировки: -это условие для отыскания экстремума Задача (1) и (2) является задачей поиска условного экстремума.
Однако с помощью метода неопределённых множителей Лагранжа можно найти экстремум . Для этого вводится функция , где Найдём производную : здесь остальные члены при дифференцировании обращаются в нуль. Найдём вторые производные: , при - это выражение отрицательное Стало быть, мы имеем максимум, так как вторая производная меньше нуля. Тогда из условия находим само условие экстремума. константа находится из условия нормировки: , где - число всех состояний Выражение (*) есть принцип равной вероятности для замкнутой системы; это есть микроканоническое распределение.
Теперь найдём экстремум энтропии при двух условиях, а именно при: и Переходим от условного экстремума энтропии к безусловному экстремуму функции : Берём производные: (3) - это условие экстремума , это одно и то же что условие экстремума для при условиях и . Обозначим , тогда: Отсюда для имеем: Постоянная находится из условия нормировки: (5) Выражение (5) называется статистической суммой. А выражение (4) – это каноническое распределение Гиббса. Это распределение относится к системе:
Где 1 находится в тепловом контакте с термостатом 2. Микроканоническое распределение мы получали для замкнутых систем, где , т.е. условия и вырождаются в одно . И для микроканонического распределения мы получили: А каноническое распределение получили, когда система 1 была в тепловом контакте с термостатом 2:
Константа находится из условия , т.е. - здесь среднее значение энергии, т.к. у нас случай термодинамики. Найдём связь энтропии с энергией: Тогда: Используем условия и : - это константа по энергии. В термодинамике - это наблюдаемая величина, поэтому пишут эту величину просто , т.к. ( - из эксперимента, а - из теории). Тогда: Отсюда имеем , но ведь , а значит: И мы определили второй неопределённый множитель Лагранжа.
Каноническое распределение Гиббса принимает вид: , где Аналогично пишут для , но тогда вместо статистической суммы будет интеграл. Здесь - температура в энергетических единицах.
§21*. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса
Далее будем излагать без константы , т.к. она нам в ближайших расчётах не понадобится. здесь , а - число степеней свободы. В квазиклассике: Рассмотрим систему из материальных точек и в качестве степеней свободы выберем переменных: т.е. это обычное трехмерное пространство. Тогда можем в явном виде записать кинетическую энергию и аргументы потенциальной энергии: и здесь время отсутствует, потому что решается стационарная задача. И функция плотности вероятности и вероятность зависят от всех выше указанных переменных: (15) Каждый вектор - т.е. это элементарный объём соответствующего трёхмерного пространства. Вероятность говорит о событии: где . Если имеем вероятность некоторого совместного события: то вероятность одного из них: тогда: (16) Используем соотношение (16), чтобы, зная вероятность (15), найти плотность распределения импульсов (в данном случае импульса первой точки): Аналогично (16) получаем: здесь интегралов Для функции имеем: При интегрировании функция даст константу, а выносится за интеграл тогда: Из условия нормировки найдём константу : Далее индекс «1» ставить не будем, т.к. если все точки одинаковы, то нет смысла выделять точку (для всех точек распределение будет одинаковое). и (Далее Т – температура) Тогда: , а все переменные меняются в пределах от до , тогда получаем: где Тогда получаем: Само распределение имеет вид: Мы получили распределение вероятностей импульсов или распределение Максвелла. Хотя его ещё называют распределением Больцмана. Эта вероятность говорит о событии: здесь три неравенства, т.к. имеется три проекции импульса.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|