Математическая философия А.Ф. Лосева

После рассмотрения дальнего и ближнего окружения лосевской «философии числа», того окружения, во взаимодействии с которым она и оформилась, необходимо сосредоточить внимание на некоторых содержательных характеристиках самого ядра, по выражению Троицкого, «центра всех соотнесений» [1, с. 818], в его смысловой точке.

Троицкий отмечает, что А.Ф. Лосеву не удалось реализовать в полном объеме свой замысел строго диалектического обоснования математики, и причинами тому указывает как обстоятельства общего плана, т.к. подобное грандиозное намерение вряд ли по силам одному человеку, даже при самых благоприятных внешних условиях, так и частые биографические обстоятельства. К тому же значительная часть рукописей периода максимальной активности автора на философско-математическом поприще погибла летом 1941 года в результате попадания фашистской авиабомбы в квартиру А.Ф. Лосева. Поэтому исследователям творчества Лосева приходится заниматься «реконструкцией общей панорамы математических знаний, как она представлялась автору «Диалектических основ математики», а также отыскивать следы прежних замыслов в более позднем творчестве философа» [1, с. 818].

Проведя начальное тематическое разделение по сферам философии чистой математики, философии математического естествознания и культурно-социальной истории числа [3, с. 33], А.Ф. Лосев сосредоточил свой анализ на первой сфере, вынужденно «оставляя пока в стороне естествознание, психологию, социологию, теорию самой диалектики числа и историю» [3, с. 35]. Лосевские работы, специально посвященные «временно покинутым» темам, неизвестны, однако интерес к социально-культурным типологиям вообще, к «физиогномике» математических воззрений в частности проследить у него на протяжении всей жизни [1, с. 819]

В «Диалектических основах математики» легко обнаруживаются примеры внимания автора к социально-исторической обусловленности математических построений на них особо обращает внимание В.М. Лосева [2, с. 14]. Троицкий же предлагает взять «один из таких «бродячих» сюжетов в творчестве А.Ф. Лосева, как логику исчисления бесконечно малых» [1, с. 819].

Он многократно привлекался Лосевым то для характеристики мировоззренческого стиля Возрождения и вообще пресловутого «прогрессизма» новоевропейской культуры, то для анализа «телесных интуиций античности», то для понимания ранней истории представлений о дискретности, пределе и континууме.

Область собственно математики, с точки зрения Лосева, разделяется также на три сферы:

a). Общая теория (логика) числа, исследующая первопринципы числа, число как таковое, сущность числа;

b). Философия математических дисциплин, специальная теория числа, теория числа в частности, число как явление;). Философию теории вероятностей и математической статистики, исследующая число в казусах, в жизни, в действительности [3, с. 40].

В «Диалектических основах математики» представлена вся общая теория числа и один переход к специальным вопросам. Отдельного же исследования «числа в жизни», т.е. специального рассмотрения теоретико-вероятностной проблематики автор не оставил.

В специальной теории числа также проводится, по определению Троицкого, «классическое триадное разделение» [1, с. 819]: науки о бытии или сущности числа, об интенсивном числе (арифметика, алгебра, анализ), науки об инобытии или явлении числа об экстенсивном числе (геометрия), теория множеств как наука о синтезе арифметической и геометрической ипостасей числа, об эйдетическом числе [3, 429-435]. Необходимо отметить, что напоминание о единстве наглядно-геометрических и счетно-арифметических подходах, убедительно демонстрируемое лосевской метаматематикой, весьма кстати и сегодня, когда философа и математики все еще бьются над во многом решенными вопросами. В качестве примера В.П. Троицкий приводит аппозицию «арифметического» и «геометрического». А.Ф. Лосев призывает «обратиться к беспристрастному и ко всему одинаково равнодушному суду диалектики, а не замирать в безмолвном ужасе перед единой и неделимой и, в конечном итоге непостижимой тотальности математики или же вместо одной крайности - излишней арифметизации впадать в другую - в крайность геометризма» [3, с. 389]

Что касается науки о бытии или сущности числа, то, согласно А.Ф. Лосеву, ее можно представить в виде диалектической триады [3, с. 442]:

a). Арифметика и алгебра как учения о неизменной сущности числа, о постоянных величинах и их функциях;

b). Дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления, как учения об инобытийной изменчивости числа, о переменных величинах и их функциях;).    Векторное и тензорное исчисления как учения о действительности числа, о числе синтетическом, ориентированном, направленном.

Здесь, второй и третий разделы, если опираться только на «Диалектические основы математики» утрачены. Однако, как отмечает Троицкий, достаточно определенный анализ диалектической сущности дифференциала и интеграла отыскивается в книге «Музыка как предмет логики» [1, с. 219].

Внутри первой сферы интенсивного числа А.Ф. Лосев выделяет очередную триадическую структуру [3, с. 430, 446]:

Арифметике как учение о непосредственной сущности числа в ее бытии, о числе в себе; о числе функционально выраженном; алгебраический анализ как учение о непосредственной сущности числа в ее становлении.

Как следует из публикуемого «Содержания» первой книги «Диалектических основ математики» [3, с. 23], степень детализации построенной лосевской метаматематики была столь велика, что к темам алгебры переход планировался лишь в самом конце обширного тома. От собственно же арифметической части книги сохранилось далеко не все. Однако В.П. Троицкий предпринимает «еще одно посещение мира числовых триад» и называет и последние структуры, и последние утраты [1, с. 220].

Так, внутри арифметики, согласно общей диалектической схеме А.Ф. Лосева, следует различать [3, с. 446-448]:

a). Натуральный ряд как бытие сущности числа, как акт ее полагания;

b). Типы чисел как инобытие чисел натурального ряда;). Действия с числами как становление сущности числа, типы числовых комплексов в разнообразных направлениях и комбинациях счета.

Сохранившийся текст «Диалектических основ математики» обрывается на материалах заключительной части второго из названных разделов. Однако Троицкий, основываясь на предыдущем разложении Лосева находит достаточно общих знаний и конкретных примеров, по которым он вполне уверенно предполагает достроить логико-диалектические аналоги для арифметических операций.

На полученную последовательность, по выражению Троцкого, «одна в другую врастающих триад» [1, с. 221] еще нужно наложить объединяющий все шаги и этапы процесс, чтобы картина получилась полной. Ведь вся математика, как показывает и доказывает А.Ф. Лосев, есть не что иное, как развитое и детализированное понятие числа. Число, как первая категория, первая «осмысленная, оформленная положенность, категориально оформленная положенность» [3, с. 105] составляет саму основу математических объектов. Все есть число. Однако ту перво-категорию, тот «акт полагания подвижного покоя самотождественного различия», что пронизывает, по Лосеву, любые закоулки математики, не обязательно называть именно «числом». Названную фундаментальную логико-диалектическую конструкцию В.П. Троицкий предлагает назвать, к примеру в честь А.Ф. Лосева «L - выражением», или принимая во внимание профессиональную семантику алгебраистов, которые называют кортежем последовательность элементов некоторого множества, Троицкий вводит термин «L - кортеж» [1, с. 221].

При изучении «Диалектических основ математики» нетрудно убедиться в том, что А.Ф. Лосев повсеместно обнаруживал, как математический материал «с огромной точностью воспроизводит» логико-диалектические прообразы [3, с. 294].

Оценивая лосевский проект математики и оценивая предложенный философом неблизкий путь от максимально общих принципов «философии числа» до мельчайших фактов самой частной из математических наук, арифметики, как отмечает В.П. Троицкий, можно судить и «о замысле - он масштабен, и о степени его воплощения - при многих потерях и необходимых оговорках, все самое трудное свершено, все самое главное было сформулировано и предано бумаге» [1, с. 221].

Обозревая труды, выполненные А.Ф. Лосевым, можно констатировать, что «задача философского обоснования математики» если и не разрешена единолично им, то вполне может быть разрешима коллективными усилиями на путях, проложенных лосевской математикой, а саму диалектику, как основное орудие этой математики «можно считать настолько зрелой и конкретизированной дисциплиной, что она вполне может (и даже обязана) войти в детали числовых конструкций, не ограничиваясь общими рассуждениями только о самом понятии числа» [3, с. 424].