Основные теоремы теории вероятностей. Свойства операций над событиями

Комбинаторика. Основные понятия.

Комбинаторика – раздел математики, в котором рассматриваются различные комбинации элементов множества (или множеств), а так же способы подсчета их числа.

1. Правило суммы для выбора 2-х объектов. Если объект А можно выбрать n способами, а объект В - другими m способами, то выбор “или A, или B ” можно осуществить n+m способами.

Замечание. Множество способов выбора объекта А и множество способов выбора объект B не должно иметь общей части.

2. Правило суммы для выбора m объектов. Если объект А₁ можно выбрать n₁ способами, объект А₂ - другими n₂ способами,…, объект А_m - n_m способами, отличных от всех предыдущих, то выбор “или A₁, или A₂ , … или A_m ” можно осуществить n₁+n₂+…+n_m способами.

3. Правило произведения для выбора 2-х объектов. Если объект А можно выбрать n способами после этого при любом выборе объекта А объект В можно выбрать другими m способами, то выбор пары“ A и B ” можно осуществить n m способами.

4. Правило произведения для выбора m объектов. Если объект А₁ можно выбрать n₁ способами, объект А₂ - другими n₂ способами,…, объект А_m - n_m способами, отличных от всех предыдущих, то выбор всех элементов “ A₁ , и A₂ , и A_m ” можно осуществить n₁ n₂ … n_m способами.

5. Перестановка. Перестановкой из n элементов называется некоторое расположение этих n элементов на n местах.

6. Размещение. Размещениями называются комбинации, составленные из n различныхэлементов, взятых по m, отличающиеся порядком и составом.

7. Сочетания. Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различныхэлементов, взятых по m, отличающиеся только составом, а порядок не важен.

.

Случайные события. Вероятность – классическое определение. Относительная частота. Случайные события – это события, исход которых заранее предсказать нельзя (например, попадание в цель при выстреле).Существует три способа определения вероятности: аксиоматический, статический, классический. Сейчас поговорим о классическом определении. Определение: Вероятность события A – это где m – число элементарных событий благоприятствующих А,

n – общее число равновозможных событий. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу опытов: где - число появлений события А n – общее число опытов.

Основные теоремы теории вероятностей. Свойства операций над событиями

Определение: Суммой двух событий A+B называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Например: Если событие А – попадание в цель при первом выстреле, событие B – попадание в цель при втором выстреле, то C=A+B – попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле: при первом или при втором или при обоих вместе.

Определение: Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Определение: Произведением двух событий A B двух событий называется событие, состоящее в совместном появлении события А и события B. Например: Если событие А – появление дамы при вынимании карты из колоды, событие B – появление карты пиковой масти, то C=A B – появление пиковой дамы.

Определение: Событие называется противоположным для А, если оно выполняется тогда и только тогда, когда не выполняется событие А.

При вычислении вероятностей удобно бывает представить сложные события в виде комбинации более простых событий, применяя операции сложения, умножения, а так же противоположные событие.

Пример: - попадание при первом выстреле, - попадание при втором выстреле, - попадание при третьем выстреле..Пусть событие В - в результате трех выстрелов будет только одно попадание: