Линейные операции над матрицами.

Матрицы

 

Основные понятия.

 

Опр. Числовая матрица размерности m´n – это прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Строки матрицы – это горизонтальные ряды чисел, столбцы матрицы – это вертикальные ряды чисел. Числа матрицы называются элементами матрицы. Матрицы обычно заключены в круглые скобки.

Обозначаются матрицы заглавными буквами латинского алфавита, а их элементы - соответствующими малыми буквами с двумя индексами. Например, для матрицы А, ее элементы обозначаются символами а_ij, где первый индекс i указывает номер строки, а второй индекс j – номер столбца данного элемента (i = ; j = ) (рис.1.1).

 

 

j

 

i

 

Рисунок 1.1

 

Матрица А размерности m´n кратко обозначается символом A_m´n и имеет вид

 

A_m´n =

 

Виды матриц.

 

Если в матрице A_m´n число строк не равно числу столбцов (m n), то такая матрица называется прямоугольной, а если m = n, то такая матрица называется квадратной матрицей n-го порядка и она обозначается символом A_n:

 

A_n =

 

NB. Квадратная матрица 1-го порядка А₁ состоит из одного элемента а₁₁.

Матрица, состоящая из одной строки (m=1), называется матрицей-строкой или строчной матрицей. Например,

A_1´n = (a₁₁ a₁₂ … a_1n)

Матрица, состоящая из одного столбца (n = 1), называется матрицей–столбцом или столбцевой матрицей. Например,

A_m´1 =

 

Нулевая матрица – это матрица, у которой все элементы равны нулю. Нулевая матрица обозначается буквой О:

О =

NB. В матричном исчислении нулевая матрица играет ту же роль, что и число 0 в арифметике.

Квадратные матрицы.

 

Элементы с одинаковыми индексами a_11, а₂₂, …, a_nn образуют главную диагональ квадратной матрицы. Поэтому эти элементы называются диагональными элементами. Геометрически главная диагональ проходит через левый верхний и правый нижний угол квадратной матрицы (рис.1.2).

 

 

Рисунок 1.2

 

Соответственно побочная диагональ квадратной матрицы проходит через ее правый верхний и левый нижний угол (рис.1.3).

 

 

Рисунок 1.3

 

Диагональная матрица – это квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие вне главной диагонали равны нулю.

A =

NB. В диагональной матрице среди ее диагональных элементов могут быть и нули, но только не на концах главной диагонали, т.е. а₁₁¹0, а_nn¹0.

Частным случаем диагональной матрицы является единичная матрица. Единичная матрица ­­- это диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Она обозначается буквой Е.

E =

Ее краткое обозначение E = , где d_ij – это символ Кронекера,

NB. В матричном исчислении единичная матрица играет ту же роль, что и число 1 в арифметике.

Треугольная матрица – это квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. В верхней треугольной матрице равны нулю все элементы, расположенные ниже главной диагонали. В нижней треугольной матрице равны нулю все элементы, расположенные выше главной диагонали.

 

 

 

Действия над матрицами

 

Линейные операции над матрицами.

 

Линейными операциями над матрицами называются:

1) сложение и вычитание матриц;

2) умножение матрицы на действительное число.

Матрицы А и В равны (А = В), если они одинаковой размерности и их соответствующие элементы совпадают, то есть a_ij = b_ij ("i, j).

Опр. 1. Суммой (разностью) матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих (т.е. с одинаковыми индексами) элементов матриц А и В. Тогда для суммы имеем: c_ij=a_ij+b_ij (для разности: c_ij = a_ij – b_ij). Обозначение С = А + В (С = А – В)

Пример. Дано: А = , В = . Найти А+В и А-В.

Решение: а) А + В = + = ;

б) А – В = - =

NB. Сложение и вычитание матриц возможно только для матриц одинаковой размерности.

Опр. 2. Произведением матрицы А на действительное число l называется матрица В, получаемая из матрицы А умножением всех ее элементов на числоl: b_ij = l×a_ij. Обозначение В = l×А или В = А×l.

Пример. Дано: А = , l = -2. Найти l×А.

Решение: l×А = (-2)× =

Следствие.

Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Пример. А = = 2

Матрица (-А) = (-1)×А называется противоположной матрице А.

 

Свойства сложения матриц:

 

1) коммутативность (переместительное свойство): А + В = В + А;

2) ассоциативность (сочетательное свойство): А + В + С = (А + В) + С = А + (В + С);

3) свойство противоположной матрицы: А + (-А) = О;

4) свойство нулевой матрицы: О + А = А.

 

Свойства умножения матрицы на число:

5) дистрибутивность (распределительное свойство) относительно суммы матриц:

l×(А+В) = l×А+l×В;

6) дистрибутивность относительно суммы чисел: (l +m)×А = l×А + m×А;

7) ассоциативность (сочетательное свойство) относительно произведения:

l×m×А = (l×m)×А = l×(m×А) = m×(l×А);

8) l×А =

NB 1. Элементы произвольной природы А, В, С …, для которых выполняются линейные операции сложения (Опр. 1) и умножения на число (Опр. 2), и которые удовлетворяют свойствам 1-8, образуют, так называемое, линейное пространство. Примеры линейных пространств: матрицы, векторы, множество действительных чисел R.

NB 2. Для матриц кроме линейных операций имеют место и нелинейные операции - это умножение матрицы на матрицу и операция транспонирования матрицы.

 

1.4.2. Умножение матрицы на матрицу.

 

Перемножать можно только согласованные матрицы.

Опр. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Например, матрица А_m´n является согласованной с матрицей B_n´k, так как в записи их произведении A_m´n× B_n´k внутренние индексы совпадают (n = n). Тогда результирующая матрица С будет иметь размерность внешних индексов: С_m´k. Однако матрица B_n´k не является согласованной с матрицей A_m´n, поскольку в произведении B_n´k× A_m´n внутренние индексы не совпадают (k m). Следовательно, можно умножить матрицу A_m´n на матрицу B_n´k, но нельзя умножить B_n´k на A_m´n.

Матрицы А и В называются взаимно согласованными, если А согласована с В, а В согласована с А. Это бывает, если А и В – квадратные матрицы одного порядка или если A_m´n, а B_n´m.

NB. Умножение матрицы А на матрицу В обозначается символом А×В. Произведение матриц А×В еще называют умножением слева матрицы А на матрицу В либо умножением справа матрицы В на матрицу А.

Опр. Произведением матрицы A_m´n на матрицу B_n´k называется матрица C_m´k, каждый элемент которой c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_inb_nj = (i = ; j = ), то есть элемент c_ij равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. Или кратко: элемент c_ij равен произведению i-ой строки матрицы А на j-тый столбец матрицы В.

На рисунке 1.4 схематично показан пример получения элемента с₂₁ матрицы С.

 

A_4x3 B_3x5 C_4x5

. =

 

с₂₁ = а₂₁×b₁₁ + а₂₂×b₂₁ + а₂₃×b₃₁

 

Рисунок 1.4

 

Пример. Дано: А= ; В= . Найти А×В и В×А.

Решение. Так как матрицы А и В взаимно согласованы, то получим

1) А_2×3 ×В_3×2 = С_2×2;

 

А_2х3×В_3х2= . = = = ;

2) В_3×2 ×А_2×3 = D_3×3;

2) В_3х2×А_2х3= . = = =

NB. Очевидно, что в общем случае, произведение двух матриц не обладает переместительным свойством, то есть А×В В×А.

Матрицы А и В называются коммутативными (перестановочными), если А×В = В×А.

NB. Матрицы Е и О всегда являются перестановочными по отношению к другим матрицам, так как

1) А×Е = Е×А = А

2) А×О = О×А = О

 

Свойства умножения матриц:

 

1) А×В В×А;

2) (А×В)×С=А×(В×С) – ассоциативность (сочетательное свойство);

3) А×(В+С)=А×В+А×С или (А+В)×С=А×С+В×С – дистрибутивность (распределительное свойство);

4) l×(А×В)=(l×А)×В=А×(l×В), где l - заданное число.

NB. Формально в линейной алгебре не определяется операция деления матрицы А на матрицу В, однако фактически она реализуется умножением матрицы А на, так называемую, обратную матрицу В^-1, нахождение которой будет рассмотрено ниже.

1.4.3. Многочлены от квадратных матриц.

 

Опр. Квадратная матрица А в n–ой степени есть произведение матрицы А на себя n раз: Аⁿ = (nÎN). Квадратная матрица А (А¹О) в нулевой степени есть единичная матрица Е того же порядка, что и матрица А, то есть А⁰ = Е.

NB. Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

 

Свойства степени квадратной матрицы:

1) А^m×Aⁿ = A^m+n

2) (A^m)ⁿ = A^m×n

 

Из обычного многочлена (полинома) степени n (nÎZ₊)

P_n(x)=a_n×xⁿ + a_n-1×x^n-1 + …+ a₁×x¹ + a₀×x⁰

заменой переменной х на квадратную матрицу А получают матричный многочлен Р_n(А) от квадратной матрицы А: P_n(A) = a_n×Aⁿ + a_n-1×A^n-1 + …+ a₁×A + a₀×Е, который также является матрицей.

NB. В матричных многочленах от квадратной матрицы А порядок единичной матрицы Е равен порядку матрицы А.

Пример. Найти значение функции f(x) при х=А, если f(x)=x²-2x+2, A= .

Решение: так как единичная матрица Е в матричном исчислении играет роль единицы, то искомое значение функции следует искать в виде

f(A) = A²-2A+2E = =

 

= = Е

 

Опр. Матрица А называется корнем многочлена Р_n(х), если Р_n(А)=0. В этом случае многочлен Р_n(х) называется аннулирующим многочленом для матрицы А.

Пример. Показать, что матрица А= является корнем многочлена Р₂(х) = х² + 2х -1.

Решение: Р₂(А) = А² + 2А - Е =

= = О

 

Транспонирование матриц.

Опр. Если в матрице А поменять местами строки на столбцы с сохранением их нумерации, то получится транспонированная матрица А^т.

Пример. Дано: А= . Найти: 1) А^т, 2) А∙ А^т

А_2×4 С_2×2

Решение: 1) А^т = ; 2) А∙ А^т = ∙ =

 

Свойства операции транспонирования:

1) (А^т)^т=А;

2) (А+В)^т=А^т+В^т;

3) (l×А)^т=l×А^т;

4) (А×В)^т=В^т×А^т.

NB. Транспонирование квадратной матрицы сводится к повороту ее элементов вокруг главной диагонали на угол p.

Опр. Симметрические матрицы – это квадратные матрицы, у которых равны элементы, симметричные относительно главной диагонали, то есть a_ij = a_ji.

 

 

Определители

 

Понятие определителя.

 

Определитель – это число, которое является характеристикой данной квадратной матрицы. Определители существуют только для квадратных матриц.

Чтобы подчеркнуть связь между квадратной матрицей и ее определителем, его обозначают также как и матрицу, к которой он относится, только меняют форму скобок. Если в матрице элементы ограничены двумя круглыми скобками, то, выпрямив скобки до прямых вертикальных линий, мы получим определитель. При этом элементы матрицы автоматически становятся элементами определителя, который кратко обозначается одним из символов D, |A_n|, detA.

A_n = Þ = D, |A_n|, detA.

NB. Хотя внешне квадратная матрица и ее определитель отличаются только формой скобок, но между ними есть принципиальное отличие. Матрица – это таблица чисел, а ее определитель – это одно число, которое характеризует эту квадратную матрицу.

 

123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: