Образец выполнения индивидуальной домашней работы (ИДР).
⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6
1) Пользуясь свойствами определителей, доказать тождество Решение. Пользуясь свойствами определителей 7), 4) и 6), получим
2) Дано: А = Решение.
3) Решить квадратную СЛАУ а) матричным способом; б) по формулам Крамера. 3а) Решение квадратной СЛАУ матричным способом В этой СЛАУ А= α) Методом элементарных преобразований найдем обратную матрицу А-1:
β) Проверка: А-1×А = γ) По формуле (4.3) находим решение СЛАУ: Х=А-1×В Þ δ) Проверка. Подставляя значения х1 = 1, х2 = 2, х3 = -1 в исходную систему уравнений, получим 2×1+3×2+5×(-1)=3 Û 3º3 1+2+(-1)=2 Û 2º2 1+3×2-2×(-1)=9 Þ 9º9 Ответ: х1 = 1, х2 = 2, х3 = -1. 3б) Решение квадратной СЛАУ по формулам Крамера: Главный определитель системы равен
Þ х1 =
Ответ: х1 = 1, х2 = 2, х3 = -1. 4) Выполнить действия над матрицами: (А-1)2 + В×А, если А= а) Методом элементарных преобразований над строками найдем обратную матрицу А-1.
Проверка: А-1×А = б) (А-1)2 = в) В×А = 5) Найти значения l, для которых существует обратная матрица А-1, если А= Решение. Обратная матрица А-1 существует, когда исходная матрица А является невырожденной, то есть ее определитель |А| ¹ 0. Найдем значения l, при которых определитель |А| = 0 и, исключив их, определим те значения l, при которых обратная матрица А-1 существует. Для этого разложим определитель данной матрицы по 3–му столбцу, так как он содержит только один ненулевой элемент (λ–2):
а) l = 2; б) (l-2)2 - –1 = 0 Þ l2 - 4l + 3 = 0 Þ Таким образом, при l = 1; 2; 3 обратная матрица А-1 не существует. Значит, она существует во всех остальных случаях, когда l ¹ 1; 2; 3. Ответ: Обратная матрица А-1 существует при l ¹ 1; 2; 3. 6) Найти ранг r(А) матрицы А, если А= Решение. Элементарными преобразованиями приведем матрицу А к ступенчатому виду.
7(а) Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса. Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.
Проверка: 2×(-2)-2×1+3+3=0 Û 0º0 2×(-2)+3×1+4-3×3+6=0 Û 0º0 3×(-2)+4×1-4+2×3=0 Û 0º0 -2+3×1+4-3-2=0 Û 0º0 Ответ: х1 = -2, х2 = 1, х3 = 4, х4 = 3. 7(б) Исследовать СЛАУ на совместность и решить методом Гаусса. Решение. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.
Поскольку число уравнений больше числа неизвестных, то нужно выбрать базисные неизвестные. В качестве базисных можно взять неизвестные х1, х2, так как коэффициенты при них образуют один из базисных миноров М2 =
Следовательно, остальные неизвестные х3, х4 – свободные. Зафиксируем их и, чтобы отличить от базисных неизвестных, переобозначим: пусть х3 = с3, х4 = с4. Перенесем их в правую часть соответствующих уравнений и выразим через них базисные неизвестные х1 и х2: Ответ: х1 = 1/11(1-14с3+2с4); х2 = 1/11(2-6с3-7с4); х3 = с3; х4 = с4 8) Найти ненулевые решения однородной СЛАУ. Решение. Запишем расширенную матрицу системы и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду.
Число неизвестных n = 4 > 2 = r(A) = r(A|B), тогда, по теореме 1 (п.4.6), однородная СЛАУ помимо нулевого решения имеет и ненулевые решения. Найдем их. Полученной ступенчатой матрице В соответствует ступенчатая СЛАУ Чтобы решить ее, в качестве базисных неизвестных можно взять неизвестные х1 и х2, так как коэффициенты при них образуют один из базисных миноров М2 =
Ответ: х1 = 2с3-с4; х2 = 3с3+2с4; х3 = с3; х4 = с4, где с3, с4 - const.
Требования
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|