Графическое представление граничных условий

 

 

 

 

Рис.3 Графическое изображение граничных условий

Начальное условие

Задание начального условия заключается в том, что для некоторого момента времени t=t0

(обычно полагают t0=0) должна быть известна функция

координат.

Начальное условие в общем виде:

C (x, y, z, t 0) = f (x, y, z)

пространственных

C (x, y, z,0) =

f (x, y, z). (38)

 

Рис.4 Десорбция из пластины с произвольными начальными условиями

 

Частный случай: C = const;

C (x, y, z,0) = C (0) = const.

Нулевое начальное условие: C (0) = 0.

При решении диффузионных уравнений обычно выделяют

три вида тел: неограниченно простирающаяся от источника во все стороны среда (бесконечное тело), простирающаяся в одном направлении среда (полубесконечное тело) – в этом случае в удаленных точках концентрация равна нулю в ходе всего диффузионного эксперимента, и ограниченная по всем направлениям среда (в конечном итоге диффузант занимает все пространство). В последнем случае решение диффузионного уравнения существенным образом зависит от геометрии среды – пластина, цилиндр, шар, куб, призма и т.п.

Возможны предельные случаи, когда можно пренебречь начальными условиями. Так, для конечных тел произвольной формы начальные условия оказывают влияние лишь на начальной стадии нестационарной диффузии: начиная с некоторого момента t* наступает такой режим диффузии, при котором распределение распределение диффузанта в теле определяется только граничными условиями и не зависит от начальных.

Дифференциальное уравнение диффузии вместе с заданными дополнительными условиями полностью определяет краевую задачу диффузии, подлежащую решению.

* * *

Таким образом, феноменологическая теория диффузии, которой мы занимаемся в данном курсе лекций, базируется на двух законах Фика и законе Генри. Задание геометрии образца (и его размеров), граничных и начальных условий, величин коэффициента диффузии и константы растворимости полностью определяет диффузионную задачу и позволяет рассчитать эволюцию концентрационного поля в пространстве и времени.

В последующих четырех лекциях мы изложим некоторые идеи математической физики, полезные для диффузии. Дифференциальное уравнение нестационарной диффузии относится к параболическому типу, а стационарной теплопроводности – к эллиптическому типу дифференциальных уравнений, решение которых является одной из задач математической физики.

Решить краевую задачу – значит найти все функции, удовлетворяющие данному дифференциальному уравнению и данным краевым условиям. Как правило, краевые условия стараются сформулировать таким образом, чтобы краевая задача имела одно и только одно решение. Это требует в каждом случае доказательства теоремы существования решения и теоремы единственности решения. Для многих конкретных задач теоремы единственности доказаны, но общем виде доказательств теорем существования и единственности не получено.

Кроме вопросов существования и единственности решения важен еще и вопрос о корректности сформулированной краевой задачи. Дело в том, что при решении поставленной

краевой задачи, необходимо учитывать наличие погрешностей различного происхождения. Проблема в том, что в некоторых случаях сколь угодно малым изменениям исходных данных в краевых условиях могут соответствовать большие изменения решения. В этом случае решение задачи неустойчиво – некорректно поставленная задача.

Мы с вами будем заниматься лишь корректно поставленными краевыми задачами: во всех рассматриваемых примерах решение задачи существует, единственно и является устойчивым.

⇐ Предыдущая1234

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: