Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины

Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями , . Тогда ее функция распределения вероятностей

, (34.1)

где - функция единичного скачка. Определить плотность вероятности случайной величины по ее функции распределения можно с учетом равенства . Однако при этом возникают математические сложности, связанные с тем, что функция единичного скачка , входящая в (34.1), имеет разрыв первого рода при . Поэтому в точке не существует производная функции .

Для преодоления этой сложности вводится -функция. Функцию единичного скачка можно представить через -функцию следующим равенством:

. (34.2)

Тогда формально производная

(34.3)

и плотность вероятности дискретной случайной величины определяется из соотношения (34.1) как производная функции :

. (34.4)

Функция (34.4) обладает всеми свойствами плотности вероятности. Рассмотрим пример. Пусть дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями , и пусть , . Тогда вероятность - того, что случайная величина примет значение из отрезка может быть вычислена, исходя из общих свойств плотности по формуле:

Здесь

поскольку особая точка - функции, определяемая условием , находится внутри области интегрирования при , а при особая точка находится вне области интегрирования. Таким образом,

Для функции (34.4) также выполняется условие нормировки:

Отметим, что в математике запись вида (34.4) считается некорректной (неправильной), а запись (34.2) - корректной. Это обусловлено тем, что -функция при нулевом аргументе , и говорят, что не существует. С другой стороны, в (34.2) -функция содержится под интегралом. При этом правая часть (34.2) - конечная величина для любого , т.е. интеграл от -функции существует. Несмотря на это в физике, технике и других приложениях теории вероятностей часто используется представление плотности в виде (34.4), которое, во-первых, позволяет получать верные результаты, применяя свойства - функции, и во-вторых, имеет очевидную физическую интерпретацию.

Примеры плотностей и функций распределения вероятностей

35.1. Случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке , если ее плотность распределения вероятностей

(35.1)

где - число, определяемое из условия нормировки:

. (35.2)

Подстановка (35.1) в (35.2) приводит к равенству, решение которого относительно имеет вид: .

Функция распределения вероятностей равномерно распределенной случайной величины может быть найдена по формуле (33.5), определяющей через плотность:

(35.3)

На рис. 35.1 представлены графики функций и равномерно распределенной случайной величины.

Рис. 35.1. Графики функции и плотности распределения

равномерно распределенной случайной величины.

35.2. Случайная величина называется нормальной (или гауссовой), если ее плотность распределения вероятностей:

, (35.4)

где , - числа, называемые параметрами функции . При функция принимает свое максимальное значение: . Параметр имеет смысл эффективной ширины . Кроме этой геометрической интерпретации параметры , имеют и вероятностную трактовку, которая будет рассмотрена в последующем.

Из (35.4) следует выражение для функции распределения вероятностей

, (35.5)

где - функция Лапласа. На рис. 35.2 представлены графики функций и нормальной случайной величины. Для обозначения того, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и часто используется запись .

Рис. 35.2. Графики плотности и функции распределения

нормальной случайной величины.

35.3. Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей Коши, если

. (35.6)

Этой плотности соответствует функция распределения

(35.7)

35.4. Случайная величина называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

(35.8)

Определим ее функцию распределения вероятностей. При из (35.8) следует . Если , то

. (35.9)

35.5. Релеевское распределение вероятностей случайной величины определяется плотностью вида

(35.10)

Этой плотности соответствует функция распределения вероятностей при и равная

(35.11)

при .

35.6. Рассмотрим примеры построения функции распределения и плотности дискретной случайной величины. Пусть случайная величина - это число успехов в последовательности из независимых испытаний. Тогда случайная величина принимает значения , с вероятностью , которая определяется формулой Бернулли: