 |
Математическое ожидание случайной величины
|
|
|
|
37.1. Функция распределения вероятностей или плотность вероятности являются полными вероятностными характеристиками случайной величины. Однако, во многих задачах такая полная характеристика случайной величины, с одной стороны, может быть неизвестна для исследователя, а с другой стороны и не обязательна, достаточно ограничиться значением некоторых параметров распределения вероятностей, т.е. некоторых чисел (или числовых характеристик). Здесь уместна аналогия с геометрическим описанием сложной формы твердого тела, когда ограничиваются такими характеристиками (числами) как длина, ширина, высота, объем, момент инерции, и т.д., а детальное описание сложной формы этого тела не рассматривается. Числовыми характеристиками случайных величин чаще всего служат так называемые моменты распределения, простейшим из которых является математическое ожидание случайной величины.
Прежде чем вводить определение математического ожидания случайной величины, рассмотрим выражение среднего арифметического результатов измерения дискретной случайной величины. Пусть случайная величина 
может принимать значения 
соответственно с вероятностями 
. Результат измерения случайной величины в каждом опыте - это одно из чисел 
. Пусть выполнено 
опытов, среди них в 
опытах случайная величина принимала значение 
, в 
опытах - значение 
,..., в 
опытах - значение 
. Очевидно, 
- полное число опытов. Пусть 
- среднее арифметическое результатов измерения случайной величины в опытах, тогда
, (37.1)
где 
- частота появления числа 
при измерении случайной величины в опытах. С увеличением числа опытов 
величина 
приближается к числу 
. Поэтому для того, чтобы определить теоретический аналог среднего арифметического достаточно в формуле (37.1) частоту заменить на вероятность 
. Это приводит к следующему определению.
|
|
|
Математическим ожиданием (средним, статистическим средним) дискретной случайной величины , принимающей значения с вероятностями 
, называется число
. (37.2)
Если множество значений дискретной случайной величины счетно: 
, то в (37.2) полагается 
.
Пусть 
- однозначная функция одной переменной, - дискретная случайная величина, принимающая значения с вероятностями 
. Тогда 
- дискретная случайная величина, принимающая значения 
с вероятностями . Поэтому из определения (37.2) математического ожидания следует
(37.3)
- выражение, определяющее математическое ожидание функции 
.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения вероятностей 
называется число
. (37.4)
Аналогично определяется математическое ожидание случайной величины - как число
, (37.5)
где 
- однозначная функция одной переменной, 
- плотность распределения вероятностей случайной величины .
37.2. Определения (37.2) и (37.4) согласуются друг с другом. Соотношение (37.4) можно представить приближенно в виде интегральной суммы:
, (37.6)
где 
- малая величина. Тогда 
, и следовательно, (37.4) формально представимо суммой (37.2).
Если 
- дискретная величина, принимающая значения 
с вероятностями , то ее плотность вероятности можно представить через 
- функцию:
. (37.7)
Подставим (37.7) в (37.4), тогда
, (37.8)
что совпадает с (37.2). Таким образом, определение (37.4) математического ожидания можно использовать как универсальное определение как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Однако вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины, конечно, удобнее по формуле (37.2).
|
|
|
Выражение (37.4) можно представить через функцию распределения 
случайной величины . Для этого выполним следующие преобразования: 
. Далее используем для вычисления интеграла способ «по частям»:
.
Пусть функция 
удовлетворяет условиям: 
, 
, тогда
. (37.9)
Это выражение позволяет вычислять математическое ожидание 
через функцию распределения 
.
|
|
|
