 |
Лазер , как самоорганизующаяся система.
|
|
|
|
Во второй главе этот вопрос мы уже рассматривали. Здесь же, рассмотрим простую модель лазера.
Лазер - это устройство, в котором в процессе стимулированного излучения порождаются фотоны.
Изменение со временем числа фотонов n, или другими словами, скорость порождения фотонов, определяется уравнением вида:
dn / dt = «Прирост» - «Потери» (3.2)
Прирост обусловлен так называемым стимулированном излучением. Он пропорционален числу уже имеющихся фотонов и числу возбужденных атомов N. Таким образом:
Прирост = G N n (3.3)
Здесь G - коэффициент усиления, который может быть получен из микроскопической теории. Член, описывающий потери, обусловлен уходом фотонов через торцы лазера. Единственное допущение, которое мы принимаем, - это то, что скорость ухода пропорциональна числу имеющихся фотонов. Следовательно,
Потери = 2cn (3.4)
2c = 1/ t0, где t0 - время жизни фотона в лазере.
Теперь следует учесть одно важное обстоятельство, которое делает (2.1) нелинейным уравнением вида:
(3.5)
Число возбужденных атомов уменьшается за счет испускания фотонов. Это уменьшение DN пропорционально числу имеющихся в лазере фотонов, поскольку эти фотоны постоянно заставляют атомы возвращаться в основное состояние.
DN = an (3.6)
Таким образом, число возбужденных атомов равно
N = N0 - DN (3.7)
где N0 - число возбужденных атомов, поддерживаемое внешней
накачкой, в отсутствии лазерной генерации.
Подставляя (3.3) - (3.7) в (3.2), получаем основное уравнение нашей упрощенной лазерной модели:
(3.8)
где постоянная k дает выражение:
k1 = aG
k = 2c - GN0 >< 0 (3.9)
Если число возбужденных атомов N0 (создаваемых накачкой) невелико, то k положительно, в то время как при достаточно больших N0 k - может стать отрицательным. Изменение знака происходит когда
|
|
|
GN0 = 2c (3.10)
Это условие есть условие порога лазерной генерации.
Из теории бифуркации следует, что при k > 0 лазерной генерации нет, в то время как при k < 0 лазер испускает фотоны.
Ниже или выше порога лазер работает в совершено разных режимах.
Решим уравнение (3.8) и проанализируем его аналитически:
- это уравнение одномодового лазера.
Запишем уравнение (3.8) в следующем виде:
Разделим исходное уравнение на n 2.
и введем новую функцию Z:
1/n = n-1 = Z Þ Z1 = - n-2 следовательно уравнение примет вид:
перепишем его в следующем виде:
разделим обе части данного уравнения на -1, получим
(3.11)
Уравнение (3.11) - это уравнение Бернулли, поэтому сделаем следующую замену Z = U × V, где U и V неизвестные пока функции n, тогда Z1 = U1 V + U V1.
Уравнение (3.11), после замены переменных, принимает вид
U1 V + UV1 - k UV = k1
преобразуем, получим
U1 V + U(V1 - k V) = k1 (3.12)
Решим уравнение (3.12)
V1 - k V = 0 ® dV/dt = k V
сделаем разделение переменных dV/V =k dt ® ln V = k t
результат V = ekt (3.13)
Отсюда мы можем уравнение (3.12) переписать в виде:
U1 ekt = k1
- это то же самое, что dU/dt = k1e-kt , dU = k1e -kt dt выразим отсюда U, получим
(3.14)
По уравнению Бернулли мы делали замену Z = U V подставляя уравнения (3.13) и (3.14) в эту замену, получим
Ранее вводили функцию Z = n-1 , следовательно
(3.15)
Начальное условие n0=1/(c-k1/k), из этого условия мы можем определить константу с следующим образом
Подставляя, найденную нами константу в уравнение (3.15), получим
(3.16)
Исследуем функцию (3.16) при k = 0, k < 0, k > 0.
При k®0; ekt ® 0; (ekt - 1)®0, то есть (ekt - 1)×k1/k®0×¥ (неопределенность), раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя. Эту неопределенность вида 0×¥ следует привести к виду. При этом, как и всегда при применении правила Лопиталя, по ходу вычислений рекомендуется упрощать получившиеся выражения, следующим образом:
|
|
|
n(k)при k®0 ® 0, следовательно
Перепишем (3.16) в следующем виде
Линеаризуем нелинейное уравнение, получим
ln n = - kt + c Þ
Построим график для этих условий
Рис. 3.3 К самоорганизации в одномодовом лазере:
кривая 1: k < 0, режим лазерной генерации
кривая 2: k = 0, точка бифуркации, порог
кривая 3: k > 0, режим лампы.
При k = 0 уравнение (3.8) примет вид
решая его, получим
(3.8)
При условии ; n(t) = const , функция (3.8) приближается к стационарному состоянию, не зависимо от начального значения n0, но в зависимости от знаков k и k1 (смотри рисунок 3.3).
Таким образом, функция (3.8) принимает стационарное решение
ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ.
О распространении и численности видов была собрана обширная информация. Макроскопической характеристикой, описывающей популяцию, может быть число особей в популяции. Это число играет роль параметра порядка. Если различные виды поддерживаются общим пищевым ресурсом, то начинается межвидовая борьба, и тогда применим принцип Дарвина: выживает наиболее приспособленный вид. (Нельзя не отметить сильнейшую аналогию, существующую между конкуренцией лазерных мод и межвидовой борьбой). Если имеются однотипные пищевые ресурсы, то становится возможным сосуществование видов. Численность видов может быть подвержена временным колебаниям.
ОДИН ВИД.
Рассмотрим сначала одну популяцию с числом особей в ней n. При наличии пищевых ресурсов А особи размножаются со скоростью:
и гибнут со скоростью:
Здесь k и d - некоторые коэффициенты рождаемости и смертности, в общем случае зависящее от параметров внешней среды обитания. Если бы количество пищи было неограниченно, то эволюционное уравнение выглядело бы так:
Введем обозначение a = kA - d
Оно было бы линейным и описывало бы неограниченный экспериментальный рост (при kA > d), либо экспериментальную гибель (при kA < d) популяции.
Рис. 3.4 Кривая 1: Экспоненциальный рост; a >0, kA>d
Кривая 2: Экспоненциальная гибель; a >0, kA>d.
|
|
|
|
|
В общем случае, однако, пищевые ресурсы ограничены, так что скорость потребления пищи
Вместе с тем в общем случае возможно восстановление пищевых ресурсов со скоростью:
Здесь, конечно, рассмотрен придельный случай сохранения полного количества органического вещества
A + n = N = const,
N - способность среды обитания поддерживать популяцию.
Тогда с учетом A = N - n получится следующее уравнение эволюции популяции одного вида (логистическое уравнение Ферхюльста):
(3.17)
Решим уравнение (3.17) аналитически, перепишем его следующим образом
, обозначим kN - d = k1
Получим:
Воспользуемся табличным интегралом,,полученное уравнение примет вид:
решим это уравнение, преобразуя
сократим полученное выражение на k, и перенесем переменную k1 в правую часть, получим
отсюда n(t) ®
Начальные условия:
откуда
Подставляя с в решение, получим уравнение в следующем виде
ранее мы обозначали, что, подставляем и преобразуем
сократим на k - коэффициент рождаемости, окончательно получим решение уравнения (3.17)
Итак, получено аналитическое решение логистического уравнения - это решение указывает на то, что рост популяции останавливается на некотором конечном стационарном уровне:
то есть параметр n1 указывает высоту плато насыщения, к которому стремится n(t) с течением времени.
Параметр n0 указывает начальное значение численности одного вида популяции: n0 = n(t0). Действительно,,то есть n1 - предельная численность вида в данной среде обитания. Иначе говоря, параметр n1 характеризует емкость среды по отношению к данной популяции. И наконец, параметр (kN - d) задает крутизну начального роста.
Отметим, что при малой исходной численности n0 (начальное число особи) начальный рост популяций будет почти экспоненциальным
Рис. 3.5. Логистическая кривая.
(эволюция популяции одного вида)
Решение уравнения (3.17) можно представить с помощью логистической кривой (рис. 3.5). Эволюция полностью детерминирована. Популяция перестает расти, когда ресурс среды оказывается исчерпанным.
|
|
|
Самоорганизация - при ограниченном пищевом ресурсе. Система самоорганизованна и взрывоподобный рост популяции (рис. 3.4 Кривая 1) сменяется кривой с насыщением.
Подчеркнем, что при описании данной биологической системы используют понятийный и физико-математический аппарат из нелинейной неравновесной термодинамики.
Может случится, однако, что всегда за событиями, не управляемыми в рамках модели, в той же среде появится, первоначально в малых количествах, новые виды (характеризуемые другими экологическими параметрами k,N и d). В связи с такой экологической флуктуацией возникает вопрос о структурной устойчивости: новые виды могут либо исчезнуть, либо вытеснить первоначальных обитателей. Пользуясь линейным анализом устойчивости, не трудно показать, что новые виды вытесняют старые только в том случае, если
Последовательность, в которой виды заполняют экологическую нишу, представлена на рисунке 3.6.
Рис. 3.6. Последовательное заполнение экологической
ниши различными видами.
Эта модель позволяет придать точным количественный смысл утверждению о том, что «выживает наиболее приспособленный», в рамках задачи о заполнении заданной экологической ниши.
СИСТЕМА «ЖЕРТВА - ХИЩНИК».
Рассмотрим систему, состоящую из двух видов - это «жертва» и «хищник» (например, зайцы и лисицы), то эволюция системы и ее самоорганизация выглядят иначе, чем в предыдущем случае.
Пусть в биологической системе имеются две популяции - «жертв» - кролики (К), и «хищников» - лисиц (Л), численностью К и Л.
Проведем теперь рассуждение, которое позволит нам объяснить существование диссипативных структур.
Кролики (К) поедают траву (Т). Предположим, что запас травы постоянен и неисчерпаем. Тогда, одновременное наличие травы и кроликов способствуют неограниченному росту кроличьей популяции. Этот процесс можно символически изобразить так:
Кролики + Трава ® Больше кроликов
К + Т ® 2К
Тот факт, что в стране кроликов всегда имеется в достатке травы, вполне аналогичен непрерывному подводу тепловой энергии в задаче с ячейками Бенара. Вскоре процесс, в целом, будет выглядеть как диссипативный (во многом аналогично процессу Бенара).
Реакция «Кролики - Трава» происходит спонтанно в направлении увеличения популяции кроликов, что является прямым следствием второго начала термодинамики.
Но вот в нашу картину, где мирно резвятся кролики, прокрались хищные лисицы (Л), для которых кролики являются добычей. Подобно тому, как по мере поедания травы кроликов становится больше, за счет поедания кроликов возрастает число лисиц:
|
|
|
Лисицы + Кролики ® Больше лисиц
Л + К ® 2Л
В свою очередь лисицы, как и кролики являются жертвами - на этот раз человека, точнее говоря происходит процесс
Лисицы ® Меха
Конечный продукт - Меха, не играет непосредственной роли в дальнейшем ходе процесса. Этот конечный продукт можно, однако, рассматривать как носитель энергии, выводимой из системы, к которой она была в начале подведена (например, в виде травы).
Таким образом, в экологической системе также существует поток энергии - аналогично тому, как это имеет место в химической пробирке или биологической клетке.
Совершенно ясно, что в действительности происходят периодические колебания численности популяции кроликов и лисиц, причем за нарастании численности кроликов следует нарастание численности лисиц, которые сменяются уменьшением численности кроликов, сопровождающимся столь же резким снижением численности лисиц, затем повышенным подъемом численности кроликов и так далее (рис. 3.7).
Рис. 3.7. Изменение численности популяций кроликов и лисиц
со временем. Наличие периодичности означает
возникновение экологической структуры.
С течением времени численность обеих популяций меняется в соответствии с последовательным прохождением точек графика. Через некоторое время (конкретное значение зависит от быстроты поедания лисицами кроликов, а так же от скорости размножения обоих видов) весь цикл начинается вновь.
Поведение популяций при различных степенях плодовитости, а так же различных способностях избегать истребления можно изучить количественно с помощью программы: ПОПУЛЯЦИЯ (в приложении).
Эта программа реализует решение уравнений для диссипативной структуры «кролики - лисицы». Результат решения изображается графически. Решается система дифференциальных уравнений
Здесь буквы К, Л, Т - означают соответственно количество кроликов, лисиц, травы; коэффициенты k1, k2, k3 - обозначают соответственно скорость рождения кроликов, скорость поедания кроликов лисицами и скорость гибели лисиц.
В программе понадобится уточнить значение отношений (примерно равное 1), постоянное количество травы (так же принимаемое обычно равным 1), начальные значения популяции кроликов и лисиц (обычно 0,4), продолжительность цикла (типичное значение 700) и шаг по оси времени (обычно равный 1).
Программа популяции - это график. Он показывает поведение популяций при различных степенях плодовитости, а так же различных способностях избегать истребление.
Совершенно ясно, что в действительности происходят периодические колебания численности популяции кроликов и лисиц, причем за нарастании численности кроликов следует нарастание численности лисиц, которые сменяются уменьшением численности кроликов, сопровождающимся столь же резким снижением численности лисиц, затем повышенным подъемом численности кроликов и так далее, то есть видно, что система самоорганизуется.
Программа прилагается.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Мы видели, что необратимость времени тесно связана с неустойчивостями в открытых системах. И.Р. Пригожин определяет два времени. Одно - динамическое, позволяющее задать описание движения точки в классической механике или изменение волновой функции в квантовой механике. Другое время - новое внутренние время, которое существует только для неустойчивых динамических систем. Оно характеризует состояние системы, связанное с энтропией.
Процессы биологического или общественного развития не имеют конечного состояния. Эти процессы неограниченны. Здесь, с одной стороны, как мы видели, нет какого-либо противоречия со вторым началом термодинамики, а с другой стороны - четко виден поступательный характер развития (прогресса) в открытой системе. Развитие связано, вообще говоря, с углублением неравновесности, а значит, в принципе с усовершенствованием структуры. Однако с усложнением структуры возрастает число и глубина неустойчивостей, вероятность бифуркации.
Успехи решения многих задач позволили выделить в них общие закономерности, ввести новые понятия и на этой основе сформулировать новую систему взглядов - синергетику. Она изучает вопросы самоорганизации и поэтому должна давать картину развития и принципы самоорганизации сложных систем, чтобы применять их в управлении. Эта задача имеет огромное значение, и, по нашему мнению, успехи в ее исследовании будут означать продвижение в решении глобальных задач: проблемы управляемого термоядерного синтеза, экологических проблем, задач управления и других.
Мы понимаем, что все приведенные в работе примеры относятся к модельным задачам, и многим профессионалам, работающим в соответствующих областях науки, они могут показаться слишком простыми. В одном они правы: использование идей и представлений синергетики не должно подменять глубокого анализа конкретной ситуации. Выяснить, каким может быть путь от модельных задач и общих принципов к реальной проблеме - дело специалистов. Кратко можно сказать так: если в изучаемой системе можно выделить один самый важный процесс (или небольшое их число), то проанализировать его поможет синергетика. Она указывает направление, в котором нужно двигаться. И, по-видимому, это уже много.
Исследование большинства реальных нелинейных задач было невозможно без вычислительного эксперимента, без построения приближенных и качественных моделей изучаемых процессов (синергетика играет важную роль в их создании). Оба подхода дополняют друг друга. Эффективность применения одного зачастую определяется успешным использованием другого. Поэтому будущее синергетики тесно связано с развитием и широким использованием вычислительного эксперимента.
Изученные в последние годы простейшие нелинейные среды обладают сложными и интересными свойствами. Структуры в таких средах могут развиваться независимо и быть локализованы, могут размножаться и взаимодействовать. Эти модели могут оказаться полезными при изучении широкого круга явлений.
Известно, что имеется некоторая разобщенность естественно научной и гуманитарной культур. Сближение, а в дальнейшем, возможно, гармоническое взаимообогащение этих культур может быть осуществлено на фундаменте нового диалога с природой на языке термодинамики открытых систем и синергетики.
ЛИТЕРАТУРА:
Базаров И.П. Термодинамика. - М.: Высшая школа, 1991 г.
Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. - М.: Мир, 1973 г.
Карери Д. Порядок и беспорядок в структуре материи. - М.: Мир, 1995 г.
Курдюшов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика - теория самоорганизации. Идеи, методы перспективы. - М.: Знание, 1983 г.
Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. - М.: Мир, 1979 г.
Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. - М.: Мир, 1990 г.
Перовский И.Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений. - М.: МГУ, 1980 г.
Попов Д.Е. Междисциплинарные связи и синергетика. - КГПУ, 1996 г.
Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. - М.: Иностранная литература, 1960 г.
Пригожин И. От существующего к возникающему. - М.: Наука, 1985 г.
Синергетика, сборник статей. - М.: Мир, 1984 г.
Хакен Г. Синергетика. - М.: Мир, 1980 г.
Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. - М.: Мир, 1985 г.
Шелепин Л.А. В дали от равновесия. - М.: Знание, 1987 г.
Эйген М., Шустер П. Гиперцикл. Принципы самоорганизации макромолекул. - М.: Мир, 1982 г.
Эткинс П. Порядок и беспорядок в природе. - М.: Мир, 1987 г
|
|
|
